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数学 高校生

どこから初めの1がでてきたのですか? 二項定理を使うのはわかります、、そうすると 本来は写真2枚目になるのではないでしょうか?

り 重要 例題 6 n桁の数の決定と二項定理 (1) 次の数の下位5桁を求めよ。 (ア) 101100 OV (イ) 99100 (2) 2951900で割ったときの余りを求めよ。 指針▷ (1) これらをまともに計算することは手計算ではほとんど不可能であり,また,それを要 求されてもいない。 そこで,次のように二項定理を利用すると, 必要とされる下位5 桁を求めることができる。 (ア) 101100=(1+100)'=(1+102)100 これを二項定理により展開し、 各項に含まれる 解答 る (1)(ア) 101100=(1+100)'=(1+102)100 10 (nは自然数)に着目して,下位5桁に関係のある範囲を調べる。 (イ) 99100= (−1+100)100= (−1+102) 100 として, (1) と同様に考える。 (2) (割られる数)=(割る数) × (商)+(余り) であるから, 2951を900で割ったときの 商をM, 余りをrとすると, 等式 2951900M+r (M は整数, 0≦x<900) が成り立つ。 2951 = (30-1)であるから,二項定理を利用して, 630-1) を 900M+rの形に変形 すればよい。 1000/ (10) (1) (+212 133 13 なぜこうなるのか =1+100C1×10° + 100C2 ×10+ 10°×N =1+10000+495 ×105 +10°×N(Nは自然数) この計算結果の下位5桁は,第3項,第4項を除いても変 わらない。 よって,下位5桁は 10001 (イ) 99100= (−1+100)10= (−1+102) 100 =1-100C ×102 + 100C2 ×10' + 10°×M =1-10000+ 49500000 +10°×M =49490001+10° × M (Mは自然数) この計算結果の下位5桁は,第2項を除いても変わらない。 よって,下位5桁は 90001 (2) 2951(30-1)51 [類 お茶の水大] 基本 1 =3051-51C1×3050+ ・51C49×302+ 51C50 ×30-1 =302 (3049-51C1×3048 + - 51C49) +51×30-1 =900(3048-51C1 ×3048 + ・51C49) +1529 =900(30-51C1 × 3048 + ・・-51 C49 +1)+629 ここで, 3049-51 C1×304+51C 49 +1は整数であるから、 295 900で割った余りは 629 である。 いのではな (展開式の第4項以下をまと めて表した。 10"×N(N は自然数, n≧5) の項は下位 5桁の計 算では影響がない。 【展開式の第4項以下をまと めた。 なお,99100 は 100 桁 を超える非常に大きい自然 数である。 1 900=302 (-1)' は が奇数のとき -1 が偶数のとき 1529=900+ 629

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数学 高校生

HがAO内にある場合は考えないのですか?

260 底面の 重要 例題 169 球と球に内接する正四面体の体積比 類 お茶の水 半径1の球に正四面体 ABCD が内接している。 このとき, 次の問いに答えよ、 ただし,正四面体の頂点から底面の三角形に引いた垂線と底面の交点は、 三角形の外接円の中心であることを証明なしで用いてよい。 (1) 正四面体 ABCDの1辺の長さを求めよ。 (2) 球Oと正四面体 ABCD の体積比を求めよ。 指針 (1) p.255 p.257 の例題 165, 166と同様に, 立体から 平面図形を取り出して考える。 ここでは,正四面体の1辺を, 頂点Aから底面に垂線 AH を下ろしてできる直角三角形 ABH の斜辺ととらえ, 三平方の定理 から求める。 (2) 正四面体 ABCD の体積は 1/3 × △BCD×AH (4) 1/30 (= a ³) 12 (p.256~p.257 重要例題 166 参照) 解答 (1) 正四面体の1辺の長さをα とする。 正四面体の頂点AからABCD に 垂線 AHを下ろすと, Hは△BCD の外接円の中心である。 ABCD において, 正弦定理により (B 関に 2204 a 70% sin 60° BH= a AHAB²-BH² = a √√3 2 a | a² - ( ₂ )² = √ ² ₁ √√√6 a 直角三角形OBH において, BH2 + OH² = OB2 から 2 ()*+(5-1) = 1 021² a(a-²√/6)=0 a- =1 ゆえに √3 3 3 a>0であるから 2√6 a= 3 4 (2) 球Oの体積は1/31 12/31 - 1 1/3× * ABCDXAH = 1/(2√6) si 3 × -π, 正四面体 ABCD の体積は 8√3 27 sin 60°× したがって183=9:2√3 27 √6 2√6 3 3 重要 166 t ×(底面積)×(高さ) 球に正四面体が内接すると いう場合,正四面体の4つ の頂点は球面上にある。 ∠DBC=60°CD=α であ るから, △BCD の外接円 の半径をRとすると CD -=2R sin ∠DBC αの2次方程式を解く。 正四面体の体積がで 2√6 a= 26 とおくと 3 √2 48√6 8√3 12 27 27 球の体積は、正四面体 ABCD の体積の約8倍。 項 空間図 四面体と 位置関係 例えば、 球は正 に接す ここで 辺に接 半径 長さ

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