Question

北大受験生

HがAO内にある場合は考えないのですか？

260
底面の
重要 例題 169 球と球に内接する正四面体の体積比
類 お茶の水
半径1の球に正四面体 ABCD が内接している。 このとき, 次の問いに答えよ、
ただし,正四面体の頂点から底面の三角形に引いた垂線と底面の交点は、
三角形の外接円の中心であることを証明なしで用いてよい。
(1) 正四面体 ABCDの1辺の長さを求めよ。
(2) 球Oと正四面体 ABCD の体積比を求めよ。
指針 (1) p.255 p.257 の例題 165, 166と同様に, 立体から 平面図形を取り出して考える。
ここでは,正四面体の1辺を, 頂点Aから底面に垂線 AH を下ろしてできる直角三角形
ABH の斜辺ととらえ, 三平方の定理 から求める。
(2) 正四面体 ABCD の体積は 1/3 × △BCD×AH (4) 1/30
(= a ³)
12
(p.256~p.257 重要例題 166 参照)
解答
(1) 正四面体の1辺の長さをα とする。
正四面体の頂点AからABCD に
垂線 AHを下ろすと, Hは△BCD
の外接円の中心である。
ABCD において, 正弦定理により (B
関に
2204
a
70% sin 60°
BH=
a
AHAB²-BH²
=
a
√√3
2
a
| a² - ( ₂ )² = √ ² ₁
√√√6
a
直角三角形OBH において, BH2 + OH² = OB2 から
2
()*+(5-1) = 1 021² a(a-²√/6)=0
a- =1
ゆえに
√3
3
3
a>0であるから
2√6
a=
3
4
(2) 球Oの体積は1/31 12/31
-
1
1/3× * ABCDXAH = 1/(2√6) si
3
×
-π, 正四面体 ABCD の体積は
8√3
27
sin 60°×
したがって183=9:2√3
27
√6 2√6
3
3
重要 166
t
×(底面積)×(高さ)
球に正四面体が内接すると
いう場合,正四面体の4つ
の頂点は球面上にある。
∠DBC=60°CD=α であ
るから, △BCD の外接円
の半径をRとすると
CD
-=2R
sin ∠DBC
αの2次方程式を解く。
正四面体の体積がで
2√6
a=
26 とおくと
3
√2 48√6 8√3
12
27
27
球の体積は、正四面体
ABCD の体積の約8倍。
項
空間図
四面体と
位置関係
例えば、
球は正
に接す
ここで
辺に接
半径
長さ

Answer 1

Manaminne

Hは、Aから平面BCDに下ろした垂線の足、つまり平面BCD上の点です。