総合 (1) 不等式 y≧(logzx) を満たす点(x, y) 全体の集合を、その境界と座標軸との交点の座標も
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書き入れて、座標平面上に図示せよ。
(2) 集合 S={10gzxxは (10gzx)^100x2 を満たす実数} に属する最大の整数を求めよ。
慶応大
本冊数学Ⅱ例題 185
(1) y2≧ (10gzx)2 から
ゆえに
(y+logzx)(y-logzx0
y+logzx≧0
y-logzx0
y+log2x≤0
または
よって
または
y-logzx0
y-logzx
y≥log2x
y≤-log2x
←PQO
ポイントは2乗!!
⇔ (P≧0 かつ Q≧0)
10gをかけても意味が
または
な・・・ (P≦0 かつ Q≦0)
YAE
y=log2x
合計
y≤log2x
よって, 求める集合は, 右の図の斜線
部分である。ただし、 境界線を含む。
(2) 10gzx=n (n は整数) とおくと
(10gzx100x2から n2>100.22n
.
x=2n
①
(1092x)=
10gzx
③510g
x
y=-log2x
10032
-10270
172010
10・2"=10・(1+1)"=10("Co+"C1+......+nCz)=
これではとけないので
他の形をさがす
←100・22"=102•(2")2 (1
←(1+1)"
=nCo+nC1+......+nCn
[1] n>0のとき
n>10.2
一方, nは自然数であるから
710g2つ
10 (Co+C2)=10(1+n)>n
よって, ① を満たす整数 n は存在しない。
IL > CROS
[2] n≦0 のとき n<-10.2n
②
01-8202)
ここで, 関数 y=-10・2" は減少関数であり,nの値が増加す
ると-10.2" の値は減少する。
y=-10-2"
n=-3のとき -10・2=>-3
5
4
5
of-
n=-2のとき
-10-2-2-- <-2
yy=n/
-3-2
A
0
n
-25
5-4
2
よって, -3以下の整数nは②を満たす。
[1], [2] から, 求める最大の整数は -3
(本冊 p.19 基本例題5 (2)
参照。)
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