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数学 高校生

数Ⅱ 積分 なんでここで相加平均、相乗平均が出てくるんですか? 「文字が正、和に対し積が定数」ってあるけど意味がわかりません。

373 OO 重要例題245 面積の最大· 最小 (2) っの最 aを正の実数とし,点 A(0, a+ 2a 1 と曲線C:y=ax" および C上の点 236 れる。 す。 P(1, a)を考える。曲線Cとy軸,および線分 AP で囲まれる図形の面積を S(a)とするとき, S(a)の最小値と, そのときのaの値を求めよ。 【類 九州大) 基本 31,244 7章 指針> S(a)は,区間0<x<1において, 直線 AP と曲線 Cに挟まれる部分の面積である。ます。 2点A, Pの座標から直線 AP の方程式を求める。 S(a)を求めると、 S(a) はaの分数式の関数として表されるが,「文字が正, 和に対し積が 定数」の形であることに着目し、,(相加平均)2(相乗平均) を利用する。 … 41 面 積 解答 別解 [S(a)の求め方) Q(1, 0) とすると 曲 S(a)=(台形 OAPQ) 直線 APの方程式は y=ax 1)+2 1 1 a+ 2a a-la+ A 2a -x+a+ 1 -Sa is o x ソ= 1-0 2a D0 a P S(a) 11 -xta+ 2a 11 すなわち ソ=ー ·1 2a +2 直 0 Q x したがって Sla)=S.(- +a+ 2a 1 =a+ 4a a 3 1 2 1 1 at 4a a 2 -x+la+ 4a -3 30t za 2a 10 a>0であるから,(相加平均)2(相乗平均) により V6 2 S(a)=a |21 2 34a 1 =2 6 <a>0, 6>0のとき a+b22ab 等号はa=bのとき成り立 4a 3 2 11 3 等号が成り立つのは, すなわちa'= 4a のときである。 18 a= 3 つ。 3 V6 a>0であるから 三 a= 8 4 V6 よって,S(a)は a= のとき最小値 4 V6 をとる。 3 参考 S(a) を微分すると, 次のようになる(数学Ⅲの範囲)。 2 1 34 V6 a 0 Sto-( リ 8a°-3 12a 2 2- 1 4 2 -at 3 a 3 4a° S'(a) 0 S'(a)=0 の解を求め, a>0における増減表をかくと, 右のように なって,同じ結果が得られるが, 上の解法の方が簡明であろう。 V6 S(a) 3 K

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数学 高校生

246番の2行目から3行目への計算過程がわかりません💦 教えてください🙇‍♀

245 x, yは正の整数で, xは素数である。このとき,方程式 2:xy-x-yー22 = 0 を満たす x、 組をすべて求めよ。 ーy= 22 2xy-x-yー22 = 0 より 両辺にを足すと 2(ー() (2ェ-1(y-)- 45 共通因数y-- 2 る。 45 4整数の積の形に 2を掛ける。 2 よって (2x-1)(2y-1) = 45 両辺に2を掛けると ,yは正の整数より,2x-1, 2y-1も正の整数であるから (2x-1, 2y-1) = (1, 45), (3,15),(5, 9), (9, 5), *1は素数でも合 x,yは正の整数で, xは素数であるから ない。 246 方程式 x- 2.xy+2y°-2.x+8y-7= 0 を満たす整数 x, yの組をすべて求めよ。 -2xy+2y° -2.x+8y-7=0 より -2(y+1)x+2y° +8y-7=0 (x-y-1)°+ y° +6y-8=0 (x-y-1)°+(y+3)° = 17| x, yは整数であるから, x-y-1, y+3は整数である。 よって ゆえに,(x-y-1)?, (y+3)° はそれぞれ整数の平方数であるから (x-y-1)? = 1,(y+3)? = 16 (x-y-1)' = 16, (y+3)° = 1 (ア)(x-y-1)?= 1, (y+3)° = 16 のとき 417 = 1+16 1=(±1)° 16 = (土4)° または y=-7, 1 より *y+3= ±4 イ)(x-y-1)' = 16, (y+3)° =D 1のとき y=-4, -2 より *y+3= ±1 (ア), (イ)より 247 +2n-35 が整数となるような自然数 nを求めよ。 +2n-35 =m (mは0以上の整数)とおく。 両辺を2乗すると (n+1)- m'= 36 より n"+2n-35 可能性がある m20とする n°+2n-35 = m" (n+1-m)(n+1+m) = 36 ここで,nは自然数, mは0以上の整数であり, (n+1)°-m°>0 より n+1> m であるから, n+1ーm, n+1+mは自然数であり n+1-mSn+1+m ミ

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