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和積の変換公式そのものをじっくり眺めてみれば、どのように役立ちそうか、おのずと見えてきます。
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ
sinA+sinB=2sin{(A+B)/2}cos{(A-B)/2}
その名の通り、和の形から積の形への変換です。単純に和の形よりも積の形の方が好ましいときに使えるかもしれません。
例) 方程式を解く場合
x²+3x+2=0 ⇔ (x+2)(x+1)=0 ⇔ x=-2,-1
などのように、積の形にすることで簡単に解くことができます。三角関数の方程式でも似たような場面が時々あるかもしれませんね。
他にはどうでしょうか。
公式によく注目してみると、和→積というだけでなく、他にも変わっているところがありますね。この変化をよくおさえることが重要です。この変化をうまく使って、「変換」するのですから。
A, B → (A+B)/2, (A-B)/2
ちょうど角度の部分が、和と差になっています。なので、もしA,Bそのものよりも、その和と差で表した方が都合のいい場合、和積の公式が役に立つということです。
まとめると、和積の変換公式のポイントは2つです。
①外の形: 関数の和 → 関数の積
②中の形: 角度単体 → 角度の和および差
「関数の積の形」や「角度の和と差」の方が都合がいい場合、和積の変換公式が利用できます。
θを一ヶ所にまとめる、すなわち角度を別の形に変換する方法として和積の公式が使えるわけですが、もちろんθをまとめるのに使えるのはそれだけではありません。おそらく三角関数の合成の方がより容易に思い付くのではないでしょうか。
asinθ+bcosθ=rsin(θ+α)
このようにsinθ,cosθとばらけていたものが、ひとつにまとめられます。ただし、見てわかるように、これが使えるのはsin, cosの角度部分が同じ場合だけです。
例)
sinθ+cosθは合成できるが、
sinα+cosβは合成できない。
あとはほぼ万能で、いかなるa,bにも対応できます。
ということで、加法定理による展開と合成で変形してみます。
2sin(θ/2)+2sin{(t-θ)/2}
=2{sin(θ/2)+sin(t/2)cos(θ/2)-cos(t/2)sin(θ/2)}
=2{1-cos(t/2)}sin(θ/2)+ 2sin(t/2)cos(θ/2)
=2rsin(θ/2+α)
ただし、
{rcosα=1-cos(t/2)
{rsinα=sin(t/2)
とおいた。ここで、rについて、
r²=1-2cos(t/2)+cos²(t/2)+sin²(t/2)
=2{1-cos(t/2)}
=4sin²(t/4)←半角の逆
0＜t/4＜π/4よりsin(t/4)＞0
r=2sin(t/4)
よって、
AS+ST=4sin(t/4)sin(θ+α)
また、αについて、
rcosα=1-cos(t/2)
=2sin²(t/4)
このときr=2sin(t/4)より
2sin(t/4)cosα=2sin²(t/4)
0＜t/4＜π/4よりsin(t/4)＞0
cosα=sin(t/4)
同様に、
rsinα=sin(t/2)
=2sin(t/4)cos(t/4)←倍角の公式
r=2sin(t/4)(＞0)で両辺割ると、
sinα=cos(t/4)
ちょうどsin,cos入れ替わってるので、
α=π/2-t/4
とできる。よって、
sin(θ/2+α)=sin(π/2+θ/2-t/4)=cos(θ/2-t/4)となるから、
AS+ST=4sin(t/4)cos{(2θ-t)/4}
と変形できた。
合成したらαの取り扱いがやっかいですね。sinA+sinBの形かつA+Bでθが消えることに気づく方がまだ楽。
解けました！合成でも解けることに気づきませんでした。別解も教えて下さりありがとうございます。
これからもよろしくお願いします☺️
ありがとうございます🙇♀️いつも丁寧に教えて下さるので助かります。