放物線の準線、焦点の問題で解き方がわからないので、教えてほしいです。 ちなみにfocusは焦点の座標で Directrixが準線です。

Find the focus and directrix of the parabola. y = 31/12(x + 2)² focus: directrix: y = E https://4.file... ♦ |) Bor

放物線についての質問です。黒い丸で囲んだところがなぜ成り立つのかを教えて欲しいです。

9585b2f1981a9b1fc6895fb92a57852f.png 808x8957 Conic: Equation: Equation (Horizontal) Graph (Horizontal) Equation (Vertical) Graph (Vertical) Circle Center: (h, k) (x-h)²-(y-k)² = r Same Same To get r: Additional Information y==√√²-(x-h)² + k Parabola Vertex: (h, k) x= a(y-k)² +h or x-h=a(y-k)² or b(x-h)=(y-k)² (Positive Coefficient) D: x= V P P F y=a(x-h)² +k or y-k=a(x-h)² V 2p or b(y-k)=(x-h)² (Positive Coefficient) 2p D: y= For x-h=a(y-k): 1 1 a= p=40 4p For b(x-h)=(y-k)²: b b=4p; P=4 p=focal length Negative Coefficients: Flip parabola https://i.pinimg.com/originals/95/85/b2/9585b2f1981a9b1fc6895fb92a57852f.png Ellipse Center: (h, k) a always larger than b 今までの2次関数と同じ! y=2x² →x²=54 ?P=& (x-h)²(y-k)² +(x-k)² Horizontal: Focus (P/O) # y²4ex, XFP Vertral: focus (P₁0) (y=+x²) x²= Apy youp is directrix b² Co-V Co-V b C Co-V (x-h)²+(-k)=1 (x−h)²_(y-k)² a² C a directrix, a X V b =1 c²=a²-b² F Co-V Hyperbola Center: (h, k) a always before the "-" (x-h)²_(y-k)² a² (Diago) Asymptotes: Ty=-p 8/21/22 午後 5:24 q² y-k=±=(x-h) Co-V b² Co-V -=1 a Co-V (y-k)²_(x-h)² 6² Asymptotes: y-k=±(x-h) =1 c²=a² +6² Co-V 1/1ページ

赤の線で囲まれている所はなぜ不等号が 異なるのでしょうか。

よって, グラフは右の図 のようになる. Focus A 600(基本)4={_4 (4≧0) -A (A<0) 642-30 注〉 y=x+2のグラフと y=-(x+2) の グラフはX軸に関して対称になってい る. 22-0 -21 場合分けで考える (簡便法)...y=f(x) | のグラフは, y=f(x)のグラフをかいて y座標が負の部分を正の側に折り返す |x+2≧0 だから, y=|x+2|のグラ フはつねにx軸より上側 (x軸を含む) にある。 つまり, y=|x+2|のグラフ は y=x+2のグラフのx軸より下側 YA x -20 ・2 らの範囲に含んで x=2のと x+2² -(x+2) が等しくなるので 普通は、解答のよう x≥-2, x<-2(0) 値記号の中が0以上 負) とする. xC 解

この、黄色い線の所が分かりません。 誰か解説お願いします🙇‍♀️

第3章 図形と方程式 Check 例題 78 折れ線の長さの最小値 直線l:y=x+1 がある.直線ℓ上に点Pを 2点A(1,1),B(3,1)と直線 とり,AP+BP が最小になるような点Pの座標を求めよ. MES 考え方 右の図のように, 2点A,Bが直線ℓに関して同じ側にあると き, lに関して点Bと対称な点B'をとると, 点P をl上の どこにとっても A APO+BPo=APO+B'Po である。これより,AP+BP が最小となるのは、AP+B'P が最小となるときで,このとき, 3点 A, P, B'′ が一直線上に ある,つまり, 点Pが直線l 直線AB' の交点である. ■解答 直線lに関して, 2点A, B は同 じ側にある. lに関して点Bと対 点B' (a, b) とすると, (sx) (AP+BP=AP+B'P より, P が直線ℓ と AB' の交点の とき, AP + BP が最小となる。 線分 BB' の中点 (a+3, b+1) BUTTER は直線l上にあるので, +1 より Focus YA B 4 1 y=x+1と③を連立させて解くと、 よって、求める座標は,P(241,4 0 a+b=4 キ 注〉点Aと対称な点A'をとってもよい P A 6+1 a +3 a-b=-4 2 2 lはx軸と平行でないから、BとB'′ のx座標は等しく ならない。つまり, α=3である. (直線BB') l より, 6-1 ･・1 = -1 つまり、 a-3 ①,②を解くと, a=0, b=4 日差したがって, B'(0, 4) より 直線AB' の方程式は, # y-1=4=(x-1) つまり,y=-3x+4 0–1 x= ·② 2点が直線に関して同 COM側にあるかどうか確 認する. まず, lに関して点B と対称な点B'の座標 を求める. B 3x y = 折れ線の長さの最小値は, 線対称を利用 ...... (近畿大改) 8: S ..3 *** 2014 P Po 2点 (x1,y1), (x2, y2) の中点 B x2+x2 (22²² +2²) 中点の座標を y=x+1に代入する. B' y y₁= A すると 直線 BB'の傾きは, の傾きを 6-1 で, 2直線の垂 a-3 直条件は,mm'=-1 点 (x1, y2), (x2, y2) を通る直線の方程式 y2-y₁ X2-X1 V1 (x-x1 )

なんでこうなるのかが理解できません

Focus ** 練習 20 a² /\ α3 a 1 1 a² + ½ = (a ² ÷-_— ;) ( a ² + —- )-(a + 1) Q5 =7・18-3=123 a5=a² a³, (1) x2+ 1 2 x² (40) 注>> α=x, 1 =y とおくと,x+y=a+1=3,xy=a1=1 となり、x,yの対称式と同 a 様に考えることができる. + 1 x=3のとき, 次の式の値を求めよ. x (3)x3+ (2) x + α°= (x²)=(α3)2 のように,次数を下げて考える +a+- tatio より. 1 x 1 =(x+y)(x-xy+y^) を利用してもよい。 3 x (4) x5+ 1 x³ (5) x + 6

数Ⅲの積分法です。 （2）の問題がわかりません。解説の最初の一行目がしっくりきません。 数学苦手なので得意な方教えていただきたいです。よろしくお願いします🤲

408 第7章 積分法 例題 214 考え方 部分分数に分解してから積分する. (1) x2+4x+3=(x+1)(x+3) より, - 2 練習 部分分数に分解する 次の不定積分を求めよ. 2 (1) Sy² + ₁²x + 3 dx 4x 214 2 x²+4x+3 (2) として, α, bの値を求める. (2) 分解する形に注意しよう. 1 x²(x-1) L 解答 Cは積分定数とする. とおくと, a +6 (x+1)(x+3)¯x+1+x+3=1 / ₂² a b 1 x²(x-1) (1) x2+4x+3=(x+1)(x+3) より, 2 b + x+3 とおくと, + + x² 1 x²(x-1) (x+1)(x+3)x+1 =log したがって C x-1 a b × ² ² + 0 ₁ ) ) — x-1 a x+1 x+3 RETO (d+xo) したがって a=1, b=-1 2 2 *₂²₁ √x² + ²x + 3 dx = S(x + 1} (x + 3) dx よって, S 4x = S(x+1=x+3)dx 10***TOX (2) S x²(x-1) 2= a (x+3)+b(x+1)+(x-1) +C 次の不定積分を求めよ. x-1 (1) -dx x²+3x+2 部分分数に分解 467 BR C x-1 a b = + + x x² 1= ax(x-1)+b(x-1)+cx² a=-1, b=-1, c=1 *₂t, S₁x²(x²-1)dx= √(- =— — — — — — + _ _ —-—-—- ) d x よって,xx-1)=(1/ 1 2 x² x-1 ==+log|¹|+C x-1 +] 08 Sdx=log|x|+C M =log|x+1|-log|x+3+C)log M-log N=log N [(x)+ g(x)] da =xb (d+x)/(x(x) dx + √√(=) dr *l+C xについての恒等式を解く. 1=ax(x-1)+b(x−1) +cx² (a+c)x²+(-a+b)x =−log|x|+=+log|x−1|+C x dx 1 2T___X²Y=X+X²+ = ** EIS b X Y = + 1/2 1 a XY X Y 1 a b Xyz = x + 1/ XYZ X Y a b dr S dx (2) √√x (x + ₁)(x+2) + xについての恒等式を解く. 2= a (x+3)+b(x+1) (a+b)x+(3a+b-2)=0 したがって, a+b=0 3a+b-2-0 これより, α=1,b=-1 -(6+1)=0 dx Leb, a+c=0, -a+b=0, b+1=0 これより, a=-1, b=-1, c=1 |Sdx=log|x|+C dx (3) √x(x + 1)²² p. 411

赤のところの標準形とは何ですか？

-2-20 xは存在し した放物線の 称 Focus 8144 ap48 ********** 蔵) x桁の自然 数より大きい数の和は、 です。 Thinkl 例題 35 平行移動・対称移動 **** 放物線y=ax²+bx+c をx軸方向に 4, y 軸方向に-2だけ平行移動 した後,x軸に関して対称移動したものの方程式が,y=2x²-6x-4 にな った。定数a,b,cの値を求めよ. ③ y=ax2+bx+c 考え方 放物線y=2x-6x-1 をどのように移動すると,もとの放物線y=ax²+bx+cに なるかを考える. そのとき, 移動の順序に注意する. 解答 放物線y=2x²-6x-4 軸方向に 4 軸方向に x軸方向に4 軸方向に 2 つまり, ………①を (i) x軸に関して対称移動し (i) x軸方向に-4, y 軸方向に2だけ平行移動 すると,もとの放物線になる. (i) ①をx軸に関して対称移動するから,yを -y におき換えて, -y=2x2-6x-4 y=-2x2+6x+4 軸に関して対称 軸に関して対称 (Ⅱ)②をx軸方向に - 4, y 軸方向に2だけ平行移 動するから, y-2=-2(x+4)+6(x+4)+4 y=-2x²-10x-2 ...... ③ 逆の移動は順序が重要 1 2次関数のグラフ つまり, よって ③ 放物線 y=ax2+bx+c より, a=-2,6=-10, c=-2 1 y=2x²-6x-4 87 y=ax²+bx+c ↓ H例量 19 第2章 y=2x²-6x-4 の逆の移動を考える. 「x軸方向 4, y 軸方向-2」 の逆の移動は 「x軸方向 -4, y 軸方向2」 であり、 「x軸に関して対称」 の逆の移動は 「x軸に関し て対称」である. 標準形にして、頂点の移動 で考えてもよい。 xをx+4,yをy-2 にお き換える. 係数を比較する. 15 e 1枚 19 ↓ 20 (2 21 22 A (9) 23 イタリ 24 125 でき

高校1年生の問題です。 この赤丸のところで質問なんですが、なぜマイナスになるんですか？

解答 Focus (2) Aが文字式の場合も, ) VA=A={-A(A<0のとき) たとえば, A=α+1 のときは, <√(a+1)=la+1={_(a+b)(a+1<0 つまり, a <1のと (a +1≧0 つまり, a≧-1のと (1)(ア)|a-3|={ a-3 (a≧3) -a+3 (a<3) VI AZ(S- (1) 12a-41={_2a+4 (a<2) 5->2 J XJ (ウ) (-1≦a<2) |a-2|+|a+1|=-(a-2)+(a+1) って (a<-1) -(α-2)-(a+1) 2a-1 (2≦a) √a² = |a|={_a - =3 (a−2)+(a+1) (2≦a) (1)a=2 -2a+1 (-1≤a<2) OSS (a<-1) (2) √a²+2a+1+√a²-4a+4=√(a+1)² +√(a−2)² =a+1|+|a-2| ここで,-1<a<2のとき, (1) の (ウ)より, (与式)=(a+1)-(α-2) ((S) =a +1-a+2=3 (a≧0のとき) (a<0のとき) (SO What ||内 練習 (1) |2a-1|+|2a+3| を絶対値の記号を用いずに表せ. 30 (2) 1<a<2のとき =* ころ mm 界に 2a- を簡単にせよ。 (a-1)²-√(a−2)² (3) x=a²+1 のとき, √x+2a+√x-2a を簡単にせよ. (S-) A (x) 11 450, #12S+xJ0²XJ A la-2 分け la-2< a+1< ✓ -(a-

（4）が解説を読んでも分かりません。 なぜ＝α五乗+1/α+α+1/α五乗 になるのでしょうか 教えてください（ ; ; ）

Check ** 例題25 a+ 練習 25 (1) a² + 1/1/2 Focus -=3のとき,次の式の値を求めよ. 式の値(3) x (2) a Q- 1 a 考え方 α=x, 1/1/2=y とおくと, x+y=a+1/2=3,xy=α 12=1 となり,x,yの対称式と同 a |解答 (1) a² + 2 = (a + ¹)²-2α· ¹ =3²-2-1=7 +0=¹ x² + y² (5) -2α・ HP CHLA Q2 a 10% $50 + As 様に考えることができる. x2+y²=(x+y)²-2xy, x+y=(x+y)-3xy(x+y) を利用する. ,01 $\+1=0 (1) (2)(1)の結果を利用するために, (a-12) の値をまず考える。 長岡 (4) d=dqr² であることに着目して、(d2+1/22) (+12/23) を考える。 (2) (a−1)²=a²-2a-1+1=([+8)x= x(1 ・2α・・ IDE Q2 したがって、(a-1)=5 (3) a² + 1/² -(o'+22)-2=7-2=5 (1) x2+- 2 実数と式の値 (3) a² + 1 = (a + ¹)²-3a-²(a + ¹ ) ALO JS ** √5922=0+(1+05) =33-3・1・3=18 (a² + ²² )( a ² + 2² ) = a ² + ² + a + a (2)x+ =D8+(1+S) | よって、a=5(+1)xロードsxp =(1+²)×ロード a5=a² a³, α°= (a²)=(α3) 2 のように、次数を下げて考える x (4) a² + 1/3 Q5 1 -=3のとき,次の式の値を求めよ. x LES&T p =(x+y)²-2xy =(x+y)-3xy(x+y) (1\ass (1 pa)+1 +pg) + ($r4x+yとの職)より。 IV. =(x+y)(x-xy+y2) 1 を利用してもよい。 a ² + ² = − (α ² + ² ² ) (α² + 1 ) - ( a + ²) (VALTI. = Q3 =7・18-3=123 =pat (1+68)31-542) (x-y)² =(x+y)2-4xy を利用してもよい。 (3) x5+ x³+y³ x5 JASENYOR so Pablo (4) x6+ 1 X6 as 55 第 1 章

(2)の問題です この証明にどこか間違えているところはありませんか？ (字が読みにくいですが…)

Q Focus 練習 [104] ** 命題と対偶 直接証明するのが難しい場合は、利用して証明する。 (1) もとの命題の対間は、 「整数nについて、 nが3の倍数でないならば、 2は3の倍数でないので、を整数として, n3k+1 または、n=3k+2 例題104 ついて、次の問いに答えよ、 命題「整数々について、が3の倍数ならば、nも3の倍数である｣ に (2) 対偶を証明することにより、 命題を証明せよ。 (1) この命題の対偶を述べよ。 n=3k+1 のとき、 n²-(3k+1)ª =9k² +6k+1 =3(3k+2k)+1 n=3k+2のとき､ n² (3k+2)² =9k²+12k+4 も3の倍数でない」 3 =3(3k²+4k+1)+1 ここで、3k2+2k, 3k+4k+1は整数であるから, nは3の倍数ではない. よって, 対偶が証明されたので、 もとの命題も成り 立つ 命題と証明 ***** n² →nth bn-n² の方が扱いやすい。 「3の倍数」 は 3k(k は整数)と表せ、 「3の 倍数でない整数」 は、 3k+1.3k+2 と表せ る. 第3章 3k² +2ks, 「3k²+4k+1」が整数 であることを必ず書く。 対偶証明法もとの命題のかわりに対偶を証明する 「3の倍数でない整数」 は, 3k-1, 3k+1 (kは整数)と表せる。 このとき, n²=(3k±1)²=9k² ±6k+1=3(3k±2k) +1 (複号同順) となり、3k2k は整数であるからn²は3の倍数ではないとして示すこともできる. 注》〉対偶証明法は,数学的に明らかな命題や、扱いにくい条件を含む命題などの証明に有効 である. 整数 α, bに関する次の命題の対偶を述べ、対偶を証明することにより、次の 題を証明せよ. (1) α² が2の倍数ならば, aも2の倍数である (2) d'+62 が3で割り切れるならば,α, bはともに3で割り切れる (3) 積αbが4の倍数ならば, αまたは6は2の倍数である 120 p. 208 11 12