青線で囲った部分の前置きって何故必要なのでしょうか？

※3 数直線と命題- (1) ²を実数,αを整数として, 集合P, Q, R をそれぞれ (中京大・情) である. とするとき,PCQCR を満たすαの最小の値は | (日本大 文理 (文系)) (2) 命題「a<r<a+2ならば,-10-24<0である」が真となる定数aの値の範囲は である. P= {x1/2 - 13/23}. Q=(x|z²+18r+7920), R={x|lx| ==} 実数の集合は、 数直線上で考えよう 例えば, や共通部分, 和集合, 補集合などが視覚的に考えられるようになり, 分かり易くなる. 2 3 4 不等式の命題は、 数直線上の区間どうしの関係からとらえる 「3<x<4ならば, 2<x<5である｣ という命題の真偽は, 数直線上で,2つ の集合A={z|3<x<4},B={x|2<x<5}について, ACBが成立する・成 立しないと一致する. つまり、区間3<x<4が区間2<x<5の中に含まれる ・ 含まれないに一致する。 いまは,右図により,この命題は真である. このように,不等式で表された命題については, 数直線上 の区間の包含関係によって視覚的にとらえることができる. ■解答 13 (1) |x-¹12³ 3のとき, 13 2 x2+18x+79≧0のとき、x≦-9-√2 または α=-9-√2,β=-9+√2 とおくと, 7 19 Pは「xs12/20または 1/2」 「x≦ 実数の集合を数直線上に図示すれば,集合どうしの包含関係 a ≦-3または3≦ェー Qは 「x≦α または β≦x」 であり, 数直線上に図示すると図1のようになる. PnQは図1の網目部であるから,PNQは図2 の網目部である. これがR : 「-- -25152/20 に 3羽照 13 2 9+√2≦x 図1 -Q a B -2 図2 a AB R 07 2 0 7 2. -P 19 2 [ 19 2 含まれる条件は、 19 a |a|> に注意すると】 Ma .az-2a=2(9+√2) よって, a≧2×10.4･･･=20.8･･･ だから, 答えはα=21 2 (2)-10-24<0のとき, (x+2)(x-12) < 0 .. -2<x<12 したがって,a<x<a +2ならばー2<x<12となるαの条件を求めればよい. 右図により, その条件は, ー2≦aかつa+2≦12 -2≤a≤10 X a a+2 12 x 整理すると、 7 19 2 VI 19 2 |a|=9+√2 >10>- 等号がつく、つかないに

よってからが分かりません！優しい方詳しく説明教えてください！

80 基本例題 45 集合の包含関係 1以上100以下の整数全体の集合を全体集合として考える。 4=(xxは整数の平方, rel},B={xx は偶数 = xlx4の倍数 x} とするとき、AUBであることを示せ。 that > TUBの要素を書き出そうとすると、かなり面倒。そこで、次の①②を利用する。 ド・モルガンの法則 AUB=AB D 77 解説 PCQ=P=Q······ ② ことつに注意。 DA COADB ** CCÂUB CCANB したがって、 CANB を導くことを考える。 A= (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49. 64. 81, 100) ACBは、Aの要素のうち数であるものだけを選んで A∩B={4,16,36,64.100} ANBの要素はすべての倍数であるから 京都産大) CRANB CCANB ド・モルガンの法則により、ANB = AUBが成り立つから CCAUB P77基本事項 数の平方は奇数で 5. ANBE( 平方全体の集合であ ANB=(4m²ln55,

（1）です b≠0と仮定する理由が分かりません。 どなたか教えてください！

解答 106 背理法 (2) bが有理数のとき, 次の問いに答えよ.ただし,√2が無理数である a. ことを用いてもよい。 (1) a+6√2=0 ならば, α = 0 かつ 6=0 であることを背理法を用い て証明せよ. (2) a(2+√2)+b(1-√2)=5+4√2 を満たす a b の値を求めよ. 考え方 (1) 2 が無理数であるという条件を利用できるよう, まず 6=0 と仮定する. (2) (1) の結果を利用する. (1) b=0と仮定する. a+b√2=0 より √√2 ここで,a,bは有理数より も有理数となる が、このことは√2が無理数であることに矛盾する. したがって, b=0 である. これをa+b√2=0 に代入して よって, α, bが有理数のとき, a b である. a+b√2=0 ならば、a=0 かつb=0 (2)a(2+√2)+b(1-√2)=5+4√2 2a+√2+6-6√2-5-4√2=0 PE a=0 (2a+b-5)+(a-b-4)√2 = 0 a b が有理数より, 2a+6-5,α-6-4 も有理数 となる. したがって. (1) より. よって,これを解いて [2a+6-5=0 la-6-4=0 HEBER a=3, b=-1 ITO 無数の 3 命題と証明 20 NO この時点では 「b= あることしか導/ いないので、こ 「b=0」 を用い 「α=0」 を導く √2について 2a+b-5, c がともに有 るる ることを必 る。

(1)の最小値の求め方の解説は理解出来たのですが、最小値が1にならない理由は何ですか。 教えてください🙇‍♀️

95 2 集合A, B を全体集合Uの部分集合として, n(U)=100, n(A)=70,n(B)=45 とすると き,次の問いに答えよ. (SES)#0080A (1) n(A∩B) の最大値、最小値を求めよ. (2) (A∩B) の最大値、最小値を求めよ. (1) n (A∩B)=x とし, n(A∩B)=a, n(A∩B)=b, (A∩B)=c とする。 n (A) >n (B) だから,xが最大となるのは, BCA すなわち, A∩B=B の場合であり, 最大値は, n(A∩B)=n(B)=45 また, n(U)=n(A∩B)+㎖ (A∩B)+m(A∩B) + n(ANB) より, 100=x+a+b+c x=100-(a+b+c) ここで, a+x=70 より, a=70-x 6+x=45 より b=45-x だから, x=100-{(70-x)+(45-x)+c} ANAYO よって, 最大値 45, 最小値 15 (2) n (A∩B)=α=70-x であり, αが最大となるのはx が最小となるとき, αが最小となるのはxが最大となる ときである. 3 よって,(1)より、合 目の包含関係すいえ 最大値 70-15=55120), 最小値 70-45=253a を求めよ。 (218の正の 05-(g onanc 46=0 のとき 02 Ca B DUAUA-5080A x=15+c 960 xが最小となるのは, cが最小となる場合であUSUA) ___n(AUB)=n(U) Sn(A)+n(B)=70+45 べて表すと つまり, c=0のときである. したがって,xの最小値は, 15 n(A)=n(ANB)+ n(ANB) ◄n(B)=n(ANB)+n(ANB) x<-1} 19 = 115>n(U) だから, n (AUB)=n(U) となる場合がある。 とするとき、ACBとなるの <考え方 (1) まず、それぞれの集合を要を書き並べて表し、2つの集合の包含関係を考える。 KEAを満たすが必ずXEB を満たすような☆の値の範囲を求める。

2次不等式の問題です。分かる方お願いします🙇‍♀️

2フレーフレー6≧0 x² + 6 x + 9 70 クピン6%+270 762+82+16㏄0

下の練習93番の問題を教えてください よろしくお願いします

第3章 集合と命題 **** 集合の包含関係の証明 例題 93 Zを整数全体の集合とするとき,次の集合 A, B は, ACB かつ A≠Bであることを証明せよ. (1) A={4n-1|n∈Z},B={2n-1|n∈Z} (2) A={4n+1|n∈Z},B={2n-1|n∈Z} 考え方 n=......, -2, -1, 0, 1, 2, A={......, -9, -5, -1 (1) B={....... -5, -3,-1, 1,③, ......} 解答 Focus として, A, B を具体的に書き出すと、 A={......, -7, -3, 1, 5, 9, …….} B={......, -5, -3, -1, 1, 3, ......} ③, 7, ......} (2) となり, ACB となりそうな予想はつく. ACB であることを示すために, x∈A となるxが必ず x∈B となることを示す｡ x=4n-1=2・2n-1 (1) x∈A とすると, x=4n-1 (nは整数)と書ける. このとき, 2nは整数であるから, 2.2n-1∈B よって, x∈A ならば, x∈B であるから, ACB が成り立つ. また, 1∈B であるが, 1EA したがって, BCA は成り立たないので, A≠B である. (2) x∈A とすると, x=4n+1 (nは整数) と書ける. このとき x=4n+1=2(2n+1)-1 2n+1は整数であるから, 2(2n+1)-1∈B 2× -1 (は整数) の形になるように、 4n-1 を変形する . また, -1∈B であるが, -16A したがって, BCA は成り立たないので, A≠B である. ACC (2>x21] よって,x∈A ならば, x∈B であるから, ACB 2 が成り立つ. x∈B であるが x∈A となる例(反例) を見つ ける.(反例について はp. 184 参照) 22 2×▲-1 (▲は整数) の形になるように、 4n+1を変形する。 x∈B であるが x∈A となる例 (反例) を見つ ける. ACB の証明では, x∈A ならば x∈B を示せ ◆注〉集合 A,B において, ACB かつA≠Bであるとき,AはBの真部分集合であるとい う。 練習 Zを整数全体の集合とし, A={4n+1|n∈Z},B={8n-3|n∈Z} とするとき 193 ASB かつA≠Bであることを証明せよ. ** 3080A 0

高校数学の集合についてです 不等号で大なりイコールや小なりイコールみたいに＝をつけるものってどういうときにつけるんですか

EP 21 集合の包含関係 全体集合を実数全体の集合とし、2つの集合A,Bを A={x|-1≦x≦3},B={x|x<1,4<x} と定めるとき, 次の各 集合をxの範囲として表せ。 ただし, 集合Xに対して集合X は集 合Xの補集合を表す. 00080000 (1) A (2) B (3) A∩B (4) AUB (5) ANB (6) AUB

（2）の解説の、より〜のところからわかりません

1集合 例題 145 集合の表し方 (3) ①1 20以下の自然数の集合を全体集合として,次のびの部分集合 4, B, C, D の包含関係をいえ. A={n|nは3の倍数}, B={n|nは6の倍数}, C={n|nは3の倍数または2の倍数}, D={n|nは3の倍数かつ2の倍数} (2) 全体集合をU={n|nは自然数,1≦n≦6},Uの部分集合を A={a, a-3},B={2, a+2, 9-2a} とする. A∩B≠Ø, A¥2 のとき,αの値を定め, A を求めよ. 考え方 (1) x∈P となるxが必ず x∈Q のとき, PCQ となり, PCQ かつ QCP のとき,P=Q となる. ・P. まずは,それぞれの集合を要素を書き並べて表す. (2) 与えられた条件に注目する. A∩B≠Ø とは, AとBの中に同じ要素があるということ. さらに, AD2より, その要素は2ではないことがわかる. 解答 (1) A={3,6,9,12,15,18},B={6, 12, 18}より, BCA E={n|nは2の倍数} とすると, E={2, 4, 6,8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} より, C=AUEDA D=A∩E={6,12,18}=B よって, B=DCACC (2) U={1,2,3,4,5,6} である. A={a, a-3},B={2, a+2, 9-2a} で, a-3<a<a+2, AD2 より, A∩B={9-2a} (i)a=9-2a のとき α=3 となり,このとき a-3=0 つまり, A={0, 3} となるが, UD0 より 不適 素となる. (ii) a-3=9-2α のとき α=4 となり, A={4, 1},B={2, 6.1} はともにびの部分集合で, A∩B={1} よって, a=4,A={2,3,5,6} LIS ●x ・B. AUE 253 は使って覚えよう 第4章 a=a+2, a-3キα+2 であり, 2がAの要素でないの で, 9-2α が共通の要 Uの要素は1から6ま での自然数 全体集合の中に入って いるか注意する AnB≠Ø の確認

（2）なんですが、条件のAなんとか2ってどう言う意味か教えてほしいです。

* 1 集 合 集合の表し方(3) 145 ** 1 20以下の自然数の集合を全体集合ひとして,次のUの部分集合 A, B,C,D の包含関係をいえ. A={n|nは3の倍数}, B={n|nは6の倍数}, C={n|nは3の倍数または2の倍数}, D={n|nは3の倍数かつ2の倍数} (2) 全体集合をU={nnは自然数, 1≦n≦6}, Uの部分集合を _A={a, a-3},B={2, a+2, 9-2a} とする. A∩B≠Ø, AD2 のとき,αの値を定め, A を求めよ. 考え方 (1) xEP となるxが必ずxEQのとき,PCQ となり, PCQ かつ QCP のとき,P=Q となる. まずは,それぞれの集合を要素を書き並べて表す。 (2) 与えられた条件に注目する. A∩B=Øとは, AとBの中に同じ要素があるということ. さらに,AD2より, その要素は2ではないことがわかる. (1) A={3, 6, 9, 12,15,18},B={6,12, 18} より, BCA E={n|nは2の倍数} とすると, E={2, 4, 6,8, 10, 12, 14,16,18, 20} より, C=AUEDA D=ANE={6, 12,18}=B よって, B=DCACC (2) U={1,2,3,4,5,6} である.(土) A={a, a-3},B={2, a+2, 9-2a} で, a-3<a<a+2, AD2 より, A∩B={9-2a} (i)a=9-2a のとき α=3 となり,このとき a-3=0 つまり, A={0,3} となるが, UD0 より,不適. 素となる. (ii) a-3=9-2α のとき α=4 となり, A={4, 1},B={2, 6, 1} はともにUの部分集合で, A∩B={1} よって, a=4, A={2, 3,5,6} 集合の記号 ∈,C, n, u, ¯, Ø, Uは使って覚えよう 9 「解答 Focus 練習 (1) 次の集合A.Bの包含関係をいえ. JAP -B. 253 E 第4章 AUE A- ∞ A a=a+2, a-3≠a+2 であり, 2がAの要素でないの で, 9-2α が共通の要 Uの要素は1から6ま での自然数 全体集合の中に入って 注意する. ANBØの確認 = |n=1 2. 3. 4}

なぜ答えがこのようになるのか分からないです。 アドバイスも見ましたがよく分かりませんでした。

17 連立不等式の包含関係 6/14 連立不等式 x^2-(a+6)x+6a<0, 4.x²-27x+45>0 の解の中に整 〈北海学園大〉 数値が3個だけ含まれるようにaの値の範囲を定めよ。 (x-a)(x-6)<0, (4x-15)(x-3)>0 共通部分を数直線を使って図示すると (ii) α>6のとき (i)a<6のとき Ja aはこの範囲にある値 aはこの範囲にある値 O I 立 ✓ + 3 154 5 6 7 8 6 3 154 1 a 2 9 a 10 x 778-4 a=9x 上の図より, 2,4,5が含まれ 上の図より, 7,8, 9が含まれれば ればよいから, 1≦a <2 よいから, 9<a≦10 (i) α=6のとき解がないから不適。 (111) よって, (i), (ii) より 1≦a<2,9<a≦10 020 ANTOINE バイス ● 連立不等式の解の包含関係は数直線を使って図示するのが一番よい。 ただし, 注 意しなければならないのは, 両端に等号が入るかどうかの吟味である。 それは問 題の式にが入っているか, 入っていないかで違ってくる。20が = ●この問題でもαの範囲の1と10には=がついているが, 29 には はつかな い。 それは,問題の式に等号が入っていないからで, 実際に (x-α)(x-6)<0の解 を調べるとα=1のときは, 1<x<6で, 共通範囲が1<x<3となりx=1は含ま れない。したがって, α=1はよい。 不S 201 一方, α=2のときは,2<x<6で, 共通範囲が2<x<3となりx=2を含まなくな ってしまうから, α = 2 はダメである。 (α=9, 10 のときについては各自で確かめてみよう SKONIO 13301 -0×6+$ OSA+S -5