用いて表す。
総合 実数a, b に対し, 関数f(x)=x^+2ax3+(a2+1)x2-a3+α+bがただ1つの極値をもち, その
30 極値が0以上になるとき, a, b の満たす条件を求めよ。
f'(x)=4x3+6ax2+2(a2+1)x=2x(2x2+3ax+a2+1)
[類 横浜国大]
本冊 数学Ⅱ 例題 218
まず、微分する。
f'(x) =0 とすると
x=0, 2x2+3ax+a2+1=0
xの2次方程式 2x2+3ax+a2+1=0
......
①の判別式をDと
←① の実数解の個数が
するとD=(3a)2-4・2・(a+1)=α²-8=(a+2√2) (α-2√2)
X [1] D>0 すなわち a< 2√22√2 <a のとき
カギとなる。それはD
の符号によって変わって
くるから,D>0,D=0,
α+1>0より,x=0は①の解ではないから,①はx=0以D<0 に分ける。
外の異なる2つの実数解をもつ。
ゆえに、f'(x) = 0 は異なる3つの実数解をもつ。
この3つの解をα, B, y (a<B<y) とすると, f (x) の増減
x
表は次のようになる。
10
a
B
r
...
←本冊 p.347 の 参考 参
0
+0
0 +
照。
極大 \ 極小 >
f'(x)
f(x) 極小
よって, f(x) は極値を3つもつから、不適。
◯[2] D0 すなわち a=±2√2 のとき
①は重解 x=-
2-2
3
3a
==
-α をもち 2x2+3ax+a2+1≧0
4
3
←等号はx=-
aのと
き成り立つ。
(i) a=2√2のとき
3√√2
f'(x) = 0 は x=0,
を解にもつから,
3√√2
XC
0
2
-2
f(x) の増減表は右のようになる。
f'(x)
-
20
+
0
+
よって, f(x) は x=0で極小となり, 極値0-
を1つだけもつから,適する。
f(x) 極小 f
√(3√2)
(ii) a=2√2のとき
f'(x)=0 は x=- 3√√2
2
0を解にもつか
3√√2
XC
0
ら,f(x) の増減表は右のようになる。
2
値を1つだけもつから,適する。
よって, f(x) は x=0で極小となり,極
f'(x)
-
0
f(x) (3√2
2
20
▼ 極小 >
:
+
