Question

みみ

式と曲線の問題なのですが、初めからy=m(x-a)＋1の形にして代入してはいけないのですか？

練習
αは正の定数とする。 点 (1,α) を通り, 双曲線 x-4y2=2に接する2本の直線が直交するとき,
④ 158 αの値を求めよ。
条件を満たす接線はx軸に垂直でないから、その方程式を
y=mx+nとおく。 これをx-4y=2に代入して整理すると
(4m²-1)x2+8mnx+2(2n²+1)=0
この方程式について4m²-10であり、直線 y=mx+n が
双曲線に接するための条件は、判別式をDとするとD=0
ここで
D
[福島県医大 ]
問題のようにすると
計算が大変なので一目文字で
おく
←双曲線の漸近線
y=± = x に平行な直線
=(4mn)-2(4m²-1)(2n²+1)=-2(4m²-2²-1) は、接線にならない。
よって, -2(4m²-2n²-1)=0から
4m²-2m²=1・
①
x2-4y2=2
a=m+n
また, 直線 y=mx+nは点 (1,α) を通るから
ゆえに n=a-m
②
②①に代入して整理すると
2m²+4am-(2α2+1)=0... ③
mの2次方程式 ③の判別式を D' とすると
D'
x2-4y2=2
a---
√2
-√2
x
4
=(2a)²+2(2a²+1)=8a²+2
よって, D'>0であるから, ③は異なる2つの実数解をもち,
接線は2本存在する。
この2本の接線の傾きを m1, m2 とすると,m, m2 は③の
解であるから,解と係数の関係により
2a2+1
mim2=
2
2本の接線が直交するから
mm2=-1
よって
2a2+1
2
ゆえに
a²=
1
2
←点 (1, α) を通る接線
の傾きが2つあるから,
接線は2本。
←2直線が直交
⇔ (傾きの積)=-1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

赤い彗星

それで解いてみて、答えがでるのであれば、特に問題に、そのように置いてはいけない条件もないので
よろしいかと思います。