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出
基本 例題 13
複利計算と等比数列
毎年度初めにα円ずつ積み立てると
年度末には元利合計はいくらになる
00000
か。 年利率をr, 1年ごとの複利で計算せよ。
p.365 基本事項 3.基本
(類 中央大
CHART & THINKING
nの問題 n=1, 2, 3,
・で調べてn化 (一般化)
「1年ごとの複利で計算」 とは,1年ごとに利息を元金に繰り入れて利息を計算することを
いい、この計算方法を複利計算という。
なお,1年度末の元利合計は,次のように計算される。
この例題をn=3 として考えてみると, 各年度初めに積み立てるα円について, それぞれ
(元利合計)=(元金)+(元金)×(年利率)=(元金) × ( 1 + 年利率)
別々に元利合計を計算し, 最後に総計を求めることになる。
1年度末
2年度末
3年度末
a(1+r)
a(1+r)2
a(1+r)³
a
acitr
積み立て
a(1+r)
a
a(1+r)²
積み立て
ger-
a
a(1+r)
積み立て
上の図から, 3年度末には α(1+r)+α(1+r)2+α(1+r) 円になる。
これをもとに, n年度末の元利合計を和の形で表そう。
SAS 1-8
解答
各年度初めの元金は、1年ごとに利息がついて (1+r)
なる。
ス
a
よって, 第1年度初めのα円は第n 年度末には α(1+r)” 円,
第2年度初めのα円は第n 年度末には α(1+r)"-1 円,
となる。ゆえに, 求める元利合計Sは, これらすべての和で
S=α(1+r)"+α(1+r)"-1+......+α(1+r) (円)
これは,初項 α(1+r), 公比 1+r, 項数nの等比数列の和で
S=(1+
あるから, 求める元利合計は
α円は
1年後にα (1) 円
2年後にα (1
..... n 年後に a(1+y^
円になる。
a(1+r)*,
α(1+r)”を末項とする。
人
ga(1+r){(1+r)"-1}= a(1+r){(1+r)"-1}
8-4
(円)
r
PRACTICE
(1+r)-1
13€
(1) 年利率5%の1年ごとの複利で、毎年度の初めに20万円ずつ積み立てるとき、
利合計は,7年度末には 1万円となる。 ただし
1.0571.4071 とし, 1万円未満は切り捨てよ。(1)類 立教大
(2) 毎年度初めに等額ずつ積み立てて、 5年度末に100万円にしたい。 毎年度初め
積み立てる金額をいくらにすればよいか。 年利率2%, 1年ごとの複利として計
せよ。ただし,1.02=1.10 とし, 100円未満は切り上げよ。
行
