38.1 これでも大丈夫ですか？？

68 ! 基本例題 38 2次方程式の解の判別 次の2次方程式の解の種類を判別せよ。 ただし, kは定数とする。 (1) 3x²-5x+3=0 (2) 2x²-(k+2)x+k-1=0 0422 (3) x2+2(k-1)x-k²+4k-3=0 基本事項 O UT GY) TRST T 指針▷2次方程式 ax2+bx+c=0の解の種類は,解を求めなくても、判別式 D の符号だけで 別できる。 * (NET) MAN [1] => 2次方程式の解の判別 D 4 DO異なる2つの実数解 解答 与えられた2次方程式の判別式をDとするとアー (1) D=(-5)²-4・3・3=-11<0 よって異なる2つの虚数解をもつ。 (2) D={-(k+2)}^-4・2(k-1)=k2+4k+4-8(k-1) =k-4k+12=(-2)^+8 ゆえに, すべての実数んについて D>0 よって異なる2つの実数解をもつ。 D<0⇔ 異なる2つの虚数解 (2),(3) 文字係数の2次方程式の場合も,解の種類の判別方針は, (1) と変わらないが, がんの2次式で表され, kの値による場合分けが必要となることがある。 D=0⇔重解 重解はx=- 一D>0」 =2(k²-3k+2)=2(k-1)(k-2) よって, 方程式の解は次のようになる。 D0 すなわちん <1,2<kのとき この店で異なる2つの実数解 D = 0 すなわち k=1,2のとき 重解 D< 0 すなわち 1 <k<2のとき D=R 異なる2つの虚数解 D<0- 0=([+8)+(1+EV)S+S (3) =(k-1)²-1(−k² +4k-3)=2k²-6k+4+?\)\, {ax² +26²x+c=0 l -ac を利用する。 2 練習 ②38 (1) x23x+1=0 LIHAMU ő 2012 (10) 2a+ SIT (A) D>0- (4) x2-(k-3)x+k²+4=0 k (_){(k+2)}" の部分は, (-1)' =1なので、 (+22 と書いてもよい。 SI+E VALE 00000 D 4 α<βのとき =b²-ac ⇔x<a, Bβ<x <α<βのとき 次の2次方程式の解の種類を判別せよ。 ただし, kは定数とする。 (2) 4x²-12x+9= 0 (3) (x-α)(x-B) <0 ⇔a<x<B (S) (5) x²-(k-?)ril k -13x2+12x-?

36. これでも大丈夫ですよね？？

40 ・di しい 3), して B-2il であ 2 基本例題 362 乗して 6 になる複素数 2乗すると 6 になるような複素数zを求めよ。 指針 ① z=x+yi (x, y は実数)とする。 卵の名 による。 CHART iのある計算=-1に気をつけて、について整理 ② 22=6i すなわち (x+y)=6iの左辺を展開し、 について整理する。 ③ 前ページと同じように、次の複素数の相等条件を利用してx,yの値を求める。 AIRNSU a+bi=c+di⇔a=c, b=d (a,b,c,d は実数)…… 解答 z=x+yi (x,y は実数)とすると z'=(x+yi)2=x2+2xy+y2i²=x²-y2+2xyi z2=6のとき x2-y²+2xyi=6i x, y は実数であるから, x2-y2と2xy も実数である。 したがって x2-y=0 ①, 2xy=6 ② ①から (x+y)(x-y)=0 よって y=±x [1] y=xのとき, ② から すなわち y=x であるから ...... x2=3 x=±√3 x=√3のとき y=√3, -√3のときy=-√3 x=-3 x=- [2] y=-xのとき、②から これを満たす実数 x は存在しない。 以上から 2= √3+√3i, -√3-√3i 注意② で,xy=3>0であるから,xとyは同符号である。 ゆえに, ③ において, y=-x となることはない。 ODO COCOOL 複素数zを求めよ。 基本 34,35 をきちんと書く。 i=-1 大量 HOCSTA >> 虚部がそれぞれ等し x+y=0 またはx-y=0 (複号同順)を用いて,次の ように書いてもよい｡ x=± √3, y=± √3 (複号同順) または (x,y)=(±√3, ±√3) (複号同順) 検討 虚数では大小関係や,正・負は考えない 虚数にも,実数と同じような大小関係があると仮定し, 例えば, i>0とする。 この両辺にを掛けると, ixi>0xi すなわち20となるが,実際にはi=-1であるから、 これは矛盾である。一方, i <0 としても同じように, i>0となって矛盾が生じる。 更に, i≠ 0 であることは明らかである。 よって, iを正の数, 0, 負の数のいずれかに分類することはできない。 したがって,正の数,負の数というときには,数は実数を意味する。 また,特に断りがない場合でも,設問で 24+1>36-2 のような不等式が与えられたら、文字 α 13 bは実数であると考えてよい。 〔類 愛媛大] CLEX25 65 2章 7 複素数

この問題の解答は全て、すべての実数とか解はないとかですが二次不等式を解けと言われた時にxは何とか以上以下とかの解答になる問題とどう見分ければよいのですか？ 聞きたいこと伝わりますかね？笑

SE 252 (1) (x-2)²+1>0 *(4) 3x²+6x+4≤0 *(2) x²+4x+6<0 (5) 5x²-15x+20>0 例題64 (1) (3) 2x²-4x+5≥0 *(6) 9x² ≤6x-4 例題 64 (2)

なぜ重解と虚数解のとき、そしてx=0のとき極大を持たないのか本当にわかりません。

数αの 基本216 とすると 3 で表し、 きる。 とする! るので、 B 0 + 極小 0 もつとき 2乗し 240 (1) 古屋大] 218 00000 f(x)=x-8x+18kx2が極大値をもたないとき,定数kの値の範囲を求め [福島大〕 基本 211.214 ⑩ 4次関数f(x) x=pで極大値をもつ x=pの前後で3次関数f(x) の符号が正から負に変わる であるから,f'(x) の符号が「正から負に変わらない」 条件を 考える。 3次関数f'(x)のグラフとx軸の上下関係をイメー ジするとよい。 なお, 解答の右横の図はy=x(x²-6x+9k) のグラフである f(x)=4x²-24x²+36kx=4x(r2-6x+9k) f(x)が極大値をもたないための条件は,f'(x)=0 の実数 解の前後でf'(x) の符号が正から負に変わらないことであ ある。このことは、 f'(x)のxの係数は正であるから、3次 方程式f'(x)=0 が異なる3つの実数解をもたないことと 同じである。 f'(x)=0 とすると x=0 / または x²6x+9k#0 よって、求める条件は、x6x+k=0が [] 重解または虚数解をもつ [2] [1] 6x19k-0の判別式を!と 2=(-3)2-9k=9(1-k)であるから 4 よって したがっ 4 次関数が極大値をもたない条件 極値もたんD=0,PKO [2]x²5x+9k=0 に x=0を代入すると k=0, k≧1 異なる3実数解 By (3つある。 1-k≤0 (①の前後でさがする、持してる のはもたら でこ x=0を解にもつ ると ≤0 キ 極 小 α=Br k=0 ル 極 a β=y x f'(x) XX=08214²²4²37813! 8 f(x) 極大 k≥1 a k=0 + ya 0 あっとき 山鹿 k>1/ 3つもたん D k=1 3つもにひ [4次関数の極値とグラフ] 一般に, 4 次関数f(x) [ 4 次の係数は正] に対し, f'(x) = 0 は 3次方程式で,少なくとも1つの実数解をもつ。その実数解をαとし、他の2つの解が実数で あれば B., y とする。このとき, y=f(x)のグラフは,次のように分類できる。 特に、極大値をと るのは①の場合だけである。 次の係数が負のときは,図の上下が逆になり, 極大と極小が入れ替わる。) WHEA 夕 347 ② 2重解ともう1つの実数解 ③ 1つの実数解と異なる2つの虚数解 または3重解 (α=β=y) a=β<y, a<β=y www 極 a 22 INA fish 小 p.348 EX 141 (218) ただ f(x)=x^+4x+αx² について,次の条件を満たす定数aの値の範囲を求めよ。 (2) 極大値と極小値をもつ。 6 章 関数の増減と極大・極小 あらから 得 容 大き の紹介 広く ト式復刻版1 ご購入はこち

写真の質問に答えてください！

問題 次の等式を満たす実数 a b の値を求めよ。 , (2) (7 - 3i)a+ (i - 1)b = 3 + i (左辺) = (7-3i)a+ (i-1)b 一度展開して、 実数部分と虚数部分で整理すると、 =7a-3ai + bi-b = (7a − b) + (−3a + b)i ここで、a,b は実数で、 7a-b, -3a+bが実数であるので、 両辺の実数部 分と虚数部分がそれぞれ等しくなることより、 { 7a-b= - 3a + b = ろとか言って 一体どこからでてきましたか?

220.2 f'(x)=0とするとx=2 x^2+2x+4=0の解は虚数解となるのです なんとなく不適かな？と思いましたが きちんとした理由などはあるんでしょうか？？

338 基本例題220 不等式の証明(微分利用) 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 (1) x>2のとき x3+16>12x (2) x>0のときx4-16≧32(x-2) 指針 p.328 基本事項 ③,基本 211 ある区間における関数f(x) の最小値がm ならば,その区間において, つ。これを利用して, 不等式を証明する。 大小比較は差を作る 例えば, f(x)=(左辺) (右辺) とする。 2② ある区間におけるf(x) の値の変化を調べる。 ( 3 f(x) の最小値を求め, (区間における最小値)>0 (または ≧0から、f(x (または0)であることを示す。 を備えるとよい。 なお, ある区間でf(x) が単調に増加することを利用する方法もある。 →x>aでf'(x)>0かつf(a)≧0ならば,x>αのときf(x) > 0 【CHART 不等式の問題 ① 大小比較は差を作る 2② 常に正⇔ (最小値) > 0 解答 (1) f(x)=(x+16)-12xとすると f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2) f'(x)=0 とすると x=±2 x≧2におけるf(x) の増減表は右のように なる。 よって, x>2のとき したがって f(x)>0 x3+1612x をとる。 よって, x>0のとき したがって f'(x)=0 とすると x>0 におけるf(x) の増減表は右 のようになる。 ゆえに, x>0のとき, f(x) は x=2で最小値 0 f(x) ≥0 x-1632(x-2) (2) f(x)=(x^-16)-32(x-2) とするとの f'(x)=4x³-32=4(x³−8)=4(x−2)(x²+2x+4) Sp x=2 f'(x) f(x) DELO XC 2 0 f'(x) + f(x) 0 > +'ps+)(D5+1 SV- 2 0 + f(x)=mが成 極小 0 7 f(x)=(左辺) (右辺) 別解 (1) x>2のとき f'(x)>0 ゆえに.x>2のとき f(x) は単調に増加する。 よって,x>2のとき f(x) >f(2)=0201 すなわち f(x)>0 ◄x³-8-0 満たす実数解は x=2 のみ。 $320.27.COM BY 3 LEONA LE [] f(x) の最小値] 20

210. ここでのf'(x)=0が異なる3つの実数解をもたない というのは2つもつor1つもつor1つももたない のいずれかである、ということですよね？？ また「f'(x)=0の実数解の前後で」とはどういう意味ですか？ 記述で書かなくてもいいですか？？ [1]は重解また... 続きを読む

00000 重要 例題 2104次関数が極大値をもたない条件 関数f(x)=x-8x3+18kx2 が極大値をもたないとき,定数kの値の範囲を求め よ。 指針 4次関数f(x)がx=pで極大値をもつ 解答 x=の前後で3次関数f'(x) の符号が正から負に変わる であるから,f'(x) の符号が「正から負に変わらない」条件を考 える。3次関数 f'(x) のグラフとx軸の上下関係をイメージす るとよい。なお,解答の右横の図はy=x(x2-6x+9k) のグラフである。 ƒ'(x)=4x³—24x²+36kx=4x(x² − 6x+9k) f(x) が極大値をもたないための条件は、 f'(x)=0 の実数解の ① 前後で f'(x) の符号が正から負に変わらないことである。 このことは,f'(x)のxの係数は正であるから, 3次方程式 f(x)=0 が異なる3つの実数解をもたないことと同じである。 f'(x)=0 とすると x = 0 または x2-6x+9k=0 よって k≧1 [2]x2-6x+9k=0にx=0を代入すると したがって k=0,k≧1 [2]x=0を解にもつ 1-k≤0 ① 上部ろく[福島 よって、求める条件は, x2-6x+9k=0が [1] 重解または虚数解をもつ [1] x2-6x+9k=0の判別式をDとすると D≦08-01- D=(-3)²-9k=9(1-k) であるから 144864 Alba-0)-0 k=0 383 k²1 YA k> 重解ともう1つの実数 x f'(x) + 極大) f(x) 基本203,207 De=(no 75 k=0 3 [参考 [ 4 次関数の極値とグラフ]一般に, 4 次関数f(x) [4 次の係数は正] に対し, 206307878 は3次方程式で, 少なくとも1つの実数解をもつ。 その実数解をαとし、他の2つの解が実 -AVS-84- ( f(x)=0 数であれば B, γとする。 この解は次の4つの場合がある (4次の係数が負のときは、図の上下が 逆になり,極大と極小が入れ替わる)。 異なる3実数解 ② とする) gra, b p /k=1 0 1313/07 " € 01

丸で囲った部分はなぜ大なりになるのですか？

5 解 15 2次不等式2x+k > 0 の解がすべての実数であるような 数の値の範囲を求めよ。 2次関数y=x²-2x+kのグラフは、下に 凸の放物線であるから、この不等式の解がす y=x²-2x+1 べての実数となるのは、グラフがx軸と共有 点をもたないときである。 よって、 2次方程式x^²-2x+k=0 の判別式をDとすると D=(-2-4-1-k=4-4k であるから, DC すなわち 4-4 より k>1

画像の2つの問題の解き方を教えてください…！ 答えではなく解法が知りたいです。

(1) a,b,c,dを実数とし, i を虚数単位とする｡ 等式 (-1 + 3ź)2 +5+α = (6+2) iが成り立つとき,a= (3+2i)2 -1+2i =c+di が成り立つとき, d= また, このとき, p= EROT (1) I= (2) = -3±√7 を解とする2次方程式を2+px+q=0 とする。 ・2 1² (2² + par H ウ である。 イ であり, 定積分I = ア である。 である。 (x2+px+q) ds の値は,

(2)のアについて、複素数の一直線上の条件で一方のk倍とする解き方があったと思うんですが今回はそうするとb=-2となり異なってしまうんですが何故でしょうか？

58 基本 例題 30 線分のなす角、平行・垂直条件 複素数平面上の3点A(a), B(B), C(y) について (1)a=1+2i, b=-2+4i, y=2-ai とする。このとき、次のものを求め。 (ア) α=3のとき, ∠BAC の大きさと △ABCの面積 (イ) α=16のとき, ∠CBA の大きさ (2) α=-1-i, β=i, y=b-2i (b は実数の定数) とする。 (ア) 3点A,B,Cが一直線上にあるように, 6の値を定めよ。 (イ)2直線AB, AC が垂直であるように, 6の値を定めよ。 指針> <BACの偏角∠Bay = arg a-B r-β y-a B-a (ア) △ABCの面積は (1) (ア) であるから, (1) (イ) Y-α β-a r-a β-α を計算し, 極形式で表す。 y-a β-a に注目する｡ (2) p.41 の基本事項 3 ② ③ が適用できるように, まず (ア) Y-α B-a p.41 基本事項 ③ の計算で出てくるβ-α, y-α の値を使うとよい。 が実数 (BAC= 0 または ² ) (<BAC=) Bay A(a) -AB AC sin ∠BAC ここで,AB=|β-al, AC=|y- y-a B-a ■C(y) を計算し ○重要 ・B(β) CHART 線分のなす角、直線の平行・垂直偏角∠Bur=arg/p-a r-a となるように, b の値を定める。 が活躍 (イ) a=16 のとき, y=2-16i であるから α-β_ 1+2i-(-2+4i) Y-B 2-16i-(-2+4i) 3-2i 4-20i (2) (3-2i)(1+5i) 1+i 4(1-5i)(1+5i) 8 -√2(cos+isin) Y-α β-a よって, ∠CBA の大きさは 8 (b-2i) (−1−i)_6+1-i = i-(-1-i) (b+1-i)(1-2i)_b-1-(2b+3)i よって b=- π 3 2 4 cos ZCBA= 1+2i B (8) A(a) ① (1+2i)(1-2i) 5 (ア) 3点A,B,Cが一直線上にあるための条件は, ① が実数 となることであるから 26+3=0 よって (イ) 2直線AB, AC が垂直であるための条件は, ① が純虚 数となることであるから 6-1=0 かつ 26+30 ゆえに b=1 BA・BC |BA||BC| O C(7) x 181 ∠A=arg THIENS 20 ZAO (イ)にも利用できるよう に, ∠BACについて調 べる。 da kria? 検討 ベクトルの問題として考える 複素数平面上の点p+gi を座標平面上の点(b, g) とみると,次のようにベクトルの知識を用 いて解くこともできる。 (1) (1) A(1, 2), B(-2, 4), C(2, -16) 3Ł BADA BA=(3, -2), BC=(4,-20)=4(1,-5) z=x+yi において y=0z は実数 x = 0 かつ y = 0 08:BA ⇒zは純虚数 4{3×1-2×(-5)} (3²+(-2)²×41²+(-5) ² √√2 59 1章 4 複素数と図形