書き込みがある波線部で、 式を変形したら右のようになりますよね？ なぜn≧2という条件がつかないのですか？

1 基本例題 96 (等差)×(等比)型の数列の和 一般項が (2n-1) 3"-' で表される数列の初項から第n項までの和 S=1・1+3・3+5･32+………+(2n-1)・3n-1 を求めよ。 CHART SOLUTION 解答) よって MIESTOROC (等差)×(等比)型の数列の和 S s-rs を作る (rは公比) ...･･･ 数列の一般項は an=(2n-1)・3-1 これは等比数列ではないが等比数列に似た 形である。 等比数列 αrn-1 の和は S=a+ar+ar² +. FILOFF -2S=1+2(3+32+ ここで ゆえに rS= artare+...... tarn-1+arn の辺々を引いて (1-r) S=a(1-r") から求めた。 この例題でも,同じ方針で S-3S を計算する。 (2n-3)-3-2 両辺に3を掛けると S=1・1+3・3+5・32+……‥+(2n-1)・37-1 AE)(I-SE) | 第 (n-1) 項は 3n) 12(n-1)-3(p-de)−(S+AE)_ _ __ 3S= 1･3+3・32+.....+(n-3)・3-1+(2n-1)・3 辺々を引くと ■S-3S=1・1+2・3 +2・3+…･････+2・3-1 したがって tarn-1 3+3+ ...... +3n-1= NE +32+ 15 一 ¥3n-¹)-(2n−1)• 3″ 3(3-1-1)_3 3-1 = ← 2 -2S=1+2.0(3"-1-1)-(2n-1)・3” =1+3"-3-(2n-1).3" =(2-2n)・3-2 S=(n-1)・3"+1 -(2n-1).3″ & 引き算しやすい位置に項を書く。 TE ty -(3-1-1) 0000 130 provede ²+ a=Si 計算しやすいように の項を,上下にそろえて 書く。 (2n-1)・3”である。 符号のミスに注意。 ( )が等比数列になる。 初項3,公比3, 数 n-1の等比数列の和。 n=1,2 を代入して検算 しておくとよい。

(2)なぜ(2,1)になるんですか

基本例題 80点と直線の距離 as 18 (1) 座標平面において, 直線 y=-2x に平行で、原点からの距離が5で ある直線の方程式をすべて求めよ。 [東京電機大] (2) 平行な2直線 2x-3y = 1, 2x-3y=-6 の間の距離を求めよ。 CHARTO SOLUTION 点と直線の距離点と直線の距離の公式を利用・･････① laxi+by+cl d= 点 (x1, y1) 直線ax+by+c=0 の距離dは 直線の方程式は必ず一般形に変形してから利用する。 (1) 直線y=-2x に平行な直線を y=-2x+k すなわち 2x+y-k=0 と表 し、原点からの距離の条件からんの値を決定する。 (2) 平行な2直線l, m間の距離 l上の点Pとmの距離dはPのとり方によらず一定で √5 であるから |- k|=√√5 √22+12 S+ 1.81 LV = √5 √a² +6² RE ある｡ 0-01-²+28 この距離dを2直線lとの距離という。 よって, 2直線のうち、いずれかの上にある1点をうまく選び、 これともう一 (C) 方の直線の距離を求めればよい。 AT HO 1152 AM 10 THE すなわち|k|=5 ゆえに k = ±5 したがって 求める直線の方程式は y=-2x±5 (2) 求める距離は、 直線 2x-3y=1 上の点 (2, 1)と直線 2x-3y+6=0 の距離と等しいから |2・2-3・1+6| 7 √2+(-3)2 √13 解答 (1) 求める直線は y=-2x に平行であるから,y=-2x+k と表せる。 W 原点と直線 2x+y-k=0 の距離が HOLOCST- ■一般形に変形する。 p.115 基本事項 7 x y=-2x 式を適用 d P ▬ (>SAAR ◆傾きが一致。 l m -|-k|=|k| 125 MBSD 「計算に都合のよい点, 例 aえば,座標が整数になる ような点を選ぶ。 (-1,-1) などでもよい

(3)の等号成立が分かりません！

基本例題 27 不等式の証明(差を作る) 85①①①①① 次の不等式を証明せよ。 また, (3) の等号が成り立つのはどのようなときか。 (1) a1, 6/12/2 のとき 2ab+1 > a +26 (2) x² >4x-7 CHARTO SOLUTION 大小比較 差を作る A> B⇔A-B0...... (左辺) (右辺)の式を (3) α2+3623ab 解答 (1) (2ab+1)-(a+2b)=2ab+1-a-2b (1) 因数分解。 (2) (実数) 正の数に変形。 (3) (実数)+(実数) 2 に変形。 注意 一般に, 不等式 A≧B の証明においては,問題で要求していない限り, 必ずしも等号が成り立つ場合について書く必要はない。 =(x2-4x+4)-4+7 =(x-2)²+3>0 - (2b ta) =(26−1)a-(26-1)= =(a-1)(26-1) ここで,a1.b>1/12 から a-1>0,26-1>0 よって (a-1)(26-1)>0 ゆえに 2ab + 1 > a +26 (2) x²-(4x-7)=x²-4x+7 よって x2>4x-7 Z(3) (a²+36²)-3ab=a²-3ab + ( 226 ) ² − ( 2126) ²³- - + 36 ² 3 =(0-20)² + ²0² 20 lp.38 基本事項② よって a²+362≧3ab 3 等号が成り立つのは,α-- -6=0 かつ b = 0, すなわち 2 a=b=0 のときである。 ■差を作る。 α について整理して共 通因数でくくる。 =(2b-1) a-b-11 22B-1) (a~1) =10 do VAS BU + ◆xについて平方完成する。 =(x-2)2≧0,3>0 1 +(a-3-6)² ≥0, 36²20 (実数)2 + (実数) 2≧0 を利用。

長方形で囲んでいるところを具体的に教えてください。お願いします。

244 161 対数 不等式の解法 (2) 基本例題 不等式 10g2x-610gx2≧1 を解け。 CHART SOLUTION 対数不等式 おき換え [logax=t] でtの不等式へ 真数の条件 底αと1の大小関係に注意 底を2にそろえると log2x-- t 6 -≥1 - 底の変換公式 log₂x 6 t log2x=t (tは任意の実数, ただし t≠0) とおくと, t - - ≧1 となり,両辺に を掛けての2次不等式の問題に帰着できる。 ただし,tの符号によって不要 の向きが変わるので、t>0, t<0で場合分けをする要領で解く。・・･・・ 解答 対数の真数, 底の条件から x>0 かつ x=1 1 また 10gx2= 10g2x 6 よって, 不等式は log₂x ≧1 log2x [1] 10gx>0 すなわち x>1 のとき ① の両辺に10g2x を掛けて よって ゆえに (log2x)2-10g2x-6≧0 (log2x)²-6≥log2 x 1 (log2x+2) (10g2x-3)≧0 log2x+2>0 であるから 10g2x-3≧0 すなわち 10g2x≧3 底2は1より大きいから x≧8 これは x>1 を満たす。 [2]log2x<0 すなわち0<x<1のとき ① の両辺に10g2x を掛けて (log2x-6≦log2x2 よって (log2x)²-log2x-6≤0 (log2x+2)(10g2x-3)≦0 これは 0<x<1 を満たす。 1 [1], [2] から x1, 8≦x ゆえに log2x-3<0であるから 10g2x+2≧0 すなわち 10gx≧-2 よって ー2≦log2x<0 底2は1より大きいから 1 x<1 底を2にそろえる。 x=1 から 10gx 基 ■α>1 のとき､x^ loga x>0 t²-t-6 =(t+2)(t-3) 10g2x>0から。 log2xlog28 ◆α>1 のとき, 0<x<1では10g 10gx < 0 から。 log2 ≦log2x

(2)なんで実数解に-1も含まれるんですか？

20 基本例題 77 実数解をもつ条件(2) 8 00000 xの2次方程式(-2)x²-2(m+1)x+m+3=0 が実数解をもつよう 共通 に、定数mの値の範囲を定めよ。 (2) x の方程式 (m+1)x²+2(m-1)x+2m-5=0 がただ1つの実数解を もつとき,定数mの値を求めよ。 基本 87 1基本 76 CHART SOLUTION 方程式が実数解をもつ条件 ( 2 次の係数) ¥0 ならば 判別式の利用 (1) 2次方程式が実数解をもつ条件は D (2) 単に「方程式」 とあるから,m+1=0 (1次方程式) の場合と m+10 (2次方程式) の場合に分ける。・・ 解答 (1) 2次方程式であるから m-2=0 2次方程式の判別式をDとすると D 4 よって HACK 2={-(m+1)}^2-(m-2)(m+3)=m+7 2次方程式が実数解をもつための条件は D≧0であるから m+7≧0に ≧-7 よって ゆえに (2) +1=0 すなわちm=-1のとき よって, ただ1つの実数解x=- 数x=-1 m=2 -7≦m<2,2<m -4x-7=0 をもつ。 キー1 のとき 方程式は2次方程式で, 判別式をDとすると この2=(m-1)2-(m+1)(2m-5)=-m²+m+6 4 2次方程式がただ1つの実数解をもつための条件は D=0 であるから -m²+m+6=0 (m+2)(m-3)=0 ゆえに これを解いて m=-2,3 これらはmキー1 を満たす。 以上から、ただ1つの実数解をもつとき m=-2,-1, 3 483 S 26′型であるから, D 2 = -= b^2-ac を利用する。 ←m=2 かつ≧-7 -7 123 2 1-), ± (01-)-=y 40²²-2-30 ◆ 2次方程式が重解をも 場合である。厳 場合分 m "it 3章 2次方程式

この問題は、二つの方程式を足し合わせて、その判別式からkの値を定めて求めていくという方法ではできないのでしょうか？

64 2 あるか も 4=8 いよ 数を 79 方程式の共通解 重要 例題 2つの2次方程式 2x2+kx+4=0, x2+x+k=0 がただ1つの共通の実数 解をもつように、 定数kの値を定め, その共通解を求めよ。 SOLUTION CHART O 方程式の解 x=α が解⇔ x=α を代入して方程式が成り立つ 2つの方程式の共通解を x=α とすると,それぞれの式にx=α を代入した 2a²+ka+4=0,a²+α+k=0 が成り立つ。これを α,k についての連立方程式 とみて解く。 実数解という条件に注意。 解答 共通解を x=α とすると 2a²+ka+4=0 .. 1, ①②×2 から (k-2)α+4-2k=0 すなわち (k-2)a-2(k-2)=0 ...... a2+a+k=0 ...... ② (k-2)(a-2)=0 k=2 または α=2 よって ゆえに [1] k=2 のとき 2つの方程式は, ともに x2+x+2=0 となる。 その判別式をDとすると D=12-4・1・2=-7 D<0 であり,実数解をもたないから, k=2は適さない。 [2] α=2 のとき ② から 22+2+k=0 このとき2つの方程式は 2x²-6x+4=0 ゆえに ...... k=-6 x2+x-6=0 1', ②' の解はx=2, -3 よって,確かにただ1つの共通解x=2をもつ。 となり,①'の解はx=1, 2 [1],[2] から k=-6, 共通解はx=2 |基本 75 ...... ◆x = α を代入した①と ②の連立方程式を解く。 ◆ α² の項を消す。 125 ◆共通の実数解が存在する ための必要条件であるか 逆を調べ十分条件で あることを確かめる。 ROO tax²+bx+c=0 の判別 式はD=62-4ac ②2(x-1)(x-2)=0, (x-2)(x+3)=0 INFORMATION この例題の場合,連立方程式 ① ② を解くために,次数を下げる方針でα² の項を消 去したが、この方針がいつも最も有効とは限らない。 下の PRACTICE 79 の場合は,定数項を消去する方針の方が有効である。 PRACTICE... 79④ の方程式x^2-(k-3)x+5k=0, x2+(k-2)x-5k=0がただ1つの共通解をもつ 3章 2次方程式

不等式が常に成り立つ条件(絶対不等式)についてです。青く囲った2次不等式とは書いてないので~とありますが、(1)も不等式としか書いていないのに、なぜ場合分けしないのでしょうか？ 教えてくださいm(_ _)m

140 00000 基本 例題 89 不等式が常に成り立つ条件(絶対不等式) (1) すべての実数xについて、不等式 x2+ax+a+3>0 が成り立つように、 定数αの値の範囲を定めよ。 (2) すべての実数x に対して、不等式 kx2+(k+1)x+k≧0 が成り立つよ うな定数kの値の範囲を求めよ。 p.135 基本事項 CHART SOLUTION 定符号の2次式 ax²+bx+c>0< a>0, D<0 常に ax²+bx+c≦0⇔a<0, D≦0 (1) x2の係数は10→D<0であるαの条件を求める。 (2)単に「不等式」 とあるから h=0 の場合 (2次不等式でない場合) も考える ことに注意｡ k≠0 の場合, k<0 かつ D≦0 であるんの条件を求める。 解答 (1) x²+ax+a+3=0 の判別式をDとする。 2の係数は正であるから、常に不等式が成り立つ条件は D<0 ここで D<0 から 求めるαの値の範囲は (2) kx²+(k+1)x+k≦0 [1] k=0 のとき, ① は x≤0 これはすべての実数x に対しては成り立たない。 [2] k0 のとき, 2次方程式 kx2+(k+1)x+k=0 の判別 式をDとすると, すべての実数xに対して, ① が成り立 つための条件は k< 0 かつ D≦0 ここで D=(k+1)2-4・k・k=-3k²+2k+1 D≦0から よって D=α²-4・1・(a+3)=α²-4a-12=(a+2)(a-6) =−(3k+1)(k-1) (3k+1)(k-1)≧0 ks- -- 1≦k 3' ① とおく。 -2<a<6 <0 との共通範囲をとると k≦-- 3 k≤- 1/13 以上から 求めるんの値の範囲は ◆下に凸の放物線が常に x軸の上側にあるため の条件と同じ(p.135 基 本事項2参照)。 (1) 下に凸 D<0 k x 上に凸 D≤0 (2) 問題文に「2次｣ 不等式 とは書いてないので, k=0 の1次不等式の場 合も調べる。 (2) [2] x

方程式の共通解についてです。 ①なぜ、わざわざ‪α‬に置き換えて解くのでしょうか？xのままで解いてはいけない理由を教えてください。 ②2つの二次方程式をイコールで結んで解いてはいけないのは何故ですか？連立で解く時とイコールで結んで解いていい時、ダメな時を教えてください。... 続きを読む

重要 例題 00000 79 方程式の共通解 2つの2次方程式 2x2+kx+4=0,x2+x+h=0 がただ1つの共通の実数 解をもつように、定数kの値を定め、その共通解を求めよ。 1基本 75

三角関数の最大、最小についての問題なのですが、 写真の下2行の、ゆえにθ+π/3=からのπ/2と3π/2が 何の数字を表しているのかが分かりません💦

35 三角関数の最大・最小(2) 20 基本例題 次の関数の最大値と最小値を求めよ。 また, そのときの0の値を求めよ。 (1) y sin0+√3 cos 0 (0≤0<2π) (2) y=sin 0-cos0 (π≤0<2π) CHART SOLUTION 解答 Z (1) y=sin0+√3cos0=2sin (0+/) 0≦0<2πのとき よって, sin ( 8 +/-/3 ) がとる値の範囲は πC asino とbcose を含む式 合成が有効 ････・･･図] 左辺をrsin (0+α) の形に変形して考える。 +αのとりうる範囲に注意して, sin (x+α) のとりうる範囲を求める。 ゆえに πC -1≦sin (0+11であるから-2≦y≦2 3 π 0+1/6=14/07 すなわち 3 2 0+ 3 π 1/² = 0 + 1/ < 1/7/r 3 37 = πC 3 2" √3 すなわち ty (1,√3) x 017/12で最小値-2 |基本 133,134 sin で合成。 ← 1周するので -1≤sin (0+5)≤1 (1) =2で最大値200916nig-3 +0aushie $40 die SH 2

四角で囲ってある部分の出し方がわかりません。どうしてbで括ってるんですか？またどうして具体的な値が出てきたのかもわかりません。 教えてください

S 重要 例題 70 3点を通る平面上の点 の面料 3点 A(1,-1, 0),B(3,1,2),(3,3, 0)の定める平面をαとする。点 P(x,y,z)がα上にあるとき, x,y,zが満たす関係式を求めよ。 CHART SOLUTION 解答 平面αの法線ベクトルを n = (a,b,c)(n=①) とする。 ここで AB=(2, 2, 2), AČ=(2, 4, 0) さ n.AB=0 3点 A,B,Cが定める平面α上にある点P(x,y,z) ①点A(a) を通り,nに垂直 n.p-d= ② OP = SOA+tOB+uOC,s+t+u=1 を満たす 平面αに垂直なベクトル (法線ベクトル) AAC から求められる。 このに対し、AP=0 から x,y,zの関係式を求める (1の方針)。 別解は2の方針。 s, t, u を x,y,zで表し, s+t+u=1に代入する。 LAB であるから よって TEL AC であるから ゆえに 2α+46=0 a=-26 ②から よって n = 0 であるから, 6=1 として 2a+2b+2c=0 したがって ...... n.AC=0 ...... 2 これと①から n=6(-2,1,1) どこからきた? 64) ① |_c=b 1, 1)……(*) n=(-2, n•AP=0 点Pは平面上にあるから 200 AP= (x-1,y- (-1), z-0)=(x-1, y+1, z) であるから -2x(x-1)+1×(y+1)+1×z = 0. 2x-y-z-3=0 p.438 基本事項 4,基本 60 SEKS TAAHO 1の方針。 んを成分表示する。 n A B inf. 一般に,平面に垂直 な直線をその平面の法線 といい, 平面に垂直なベク トルをその平面の法線ベ RAJ クトルという。 (*) において, n = 0 であ れば,bはどの値でもよい。 一般に、1つの平面の法線 ベクトルは無料に C (1