別解の矢印のとこがよく分からないです。教えてほしいです

pan エ 基本例題 105 an+1 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 a1 = 3, an+1=2an-n nds=ind CHART SOLUTION 漸化式 an+1= pan+ (n の1次式) (1) 階差数列の利用 2 an+1-f(n+1)=p{an-f(n)} と変形・・・・ ②の変形については右ページのズームUP を参照。 下の解答は1の方針による解法で、 別解 は2の方針による解法である。 「解答」 an+2=2an+1−(n+1) an+1=2an-n 辺々引いて an+2an+1=2(an+1-αn)-1 bn=an+1-an とおくと bn+1=26-1 ･① また b1=a2-α=(2・3-1)-3=2 ①から bn+1-1=2(bn-1) 更に b₁-1=1 ゆえに, 数列{bm-1} は初項1,公比2の等比数列となり bn-1=1・2n-1 すなわち bn=2n-1+1 よって, n ≧2のとき n-1 2-1-1 an= a₁ +(2k-¹+1)=3+- +(n-1) k=1 2-1 =2"-1+n+1 α=3であるから,この式はn=1のときにも成り立つ。 したがって an=2n-1+n+1 別解an+1=2an-n を変形すると↓ an+1-(n+2)=2{an-(n+1)} TOTSDAY また a-(1+1)=3-2=1 S& ゆえに, 数列{an- (n+1)}は,初項1,公比2の等比数列と なり an-(n+1)=1・2″-1 したがって an=2"-1+n+1 00000 ゴーマ 基本103,104 α=2α-1 を解くと α=1 inf. bn=2"-1+1 を求め た後は Jan+1=2an-n lan+1-an=2" 1+1 から an+1 を消去して an=27-1+n+1 と求めてもよい。 ◆ n=1 とすると 2°+1+1=3 この変形については ページのズームUP 参照。

5行目の破線のところで、なぜ aﾍﾞｸﾄﾙとbﾍﾞｸﾄﾙが平行でないことを言わなければなりませんか？

378 基本例題 29 交点の位置ベクトル (1) 奈闘共 80000円 △OAB において, 辺OAを1:2に内分する点をC, 辺OB を 2:1に する点をDとする。 線分 AD と線分BC の交点をPとし,直線OP と の交点をQとする。 OA= a, OB = とするとき, 次のベクトルをd 用いて表せ。 p.337 基本事項 3, p.370 基本事項 1 (2) OQ (1) OP CHART • SOLUTION ... 交点の位置ベクトル 2通りに表し 係数比較 ・・・・･･ (1) AP:PD=s: (1-s), BP:PC=t: (1-t) として, 点Pを 線分 AD における内分点, 線分BCにおける内分点 の2通りにとらえ, OPを2通りに表す。 (2) 点Qは直線OP 上にあるから,OQ=kOP (kは実数)と表される。( 様に、点Qを線分 AB における内分点, 直線 OP 上の点の2通りにとらえ、 OQを2通りに表す。 解答 (1) AP:PD=s: (1-s), BP:PC=t: (1-t) とすると OP=(1-s)OA+sOD=(1-s) a+1/23st.... ① OP=(1-10B +10C=1/23ta +(1-1)..... ② •2S+ DE CI G S D. *5 (1=s)ã+² sb=tä+(1-t)b ① ② から A ad, d=d, axt であるから 1-s=1/23t, 1/23s=1-10点ぷ 6 これを解くとs=0, t 3 ゆえに OP=1/4+1/6 注意 左の解答 = 7 の断りを必ず明記 (2) AQ:QB=u: (1-u) とすると OQ=(1-u)a+ub inf. メネラウン チェバの定理を また,点Qは直線 OP上にあるから, OQ=kOP(は実数) とすると, より は, p.380の 0 2732₁ (1) * _0Q=k (²a + 16 ) = — ka + 47 kb また, ベクトル HAR=DAいる解法は次管 よって (1¬u)ã+ub=ká+½ kb 360 L adid, axi であるから 1-u=1/2k, 0, 0, 405 SUF 7 これを解くと k= u= 5 1-u=//k, u=k 19²k0Q===ã+₁ ゆ - 6 13 a

なぜ正方形の面積がY＝A P2乗となるのかわかりません まずこっからどうやって正方形を作るんですか?? 書いてほしいです，お願いします🤲

定数 重要 例題 55 関数の作成 ①①①①① 93 図のような1辺の長さが2の正三角形ABCがある。 点P が頂点Aを出発し、 毎秒1の速さで左回りに辺上を1周す るとき,線分 AP を1辺とする正方形の面積を、 出発後 の時間 x (秒) の関数として表し、そのグラフをかけ。 44x1 ただし, 点Pが点Aにあるときは y=0 とする。 B CHART SOLUTION 変域によって式が異なる関数の作成 (1) xの変域はどうなるか 0≤x≤6 (2) 面積の表し方が変わるときのxの値は何か x=2,4 - 点Pが辺BC上にあるときの AP2 の値は、 三平方の定理から求める。 解答 AP2 であり,条件から,xの変域は 0≤x≤6 [1] x=0,x=6のとき 点Pが点Aにあるから y=0 点Pは辺AB上にあって AP=x [2] 0x2のとき よって y=x2 P x-4 [3] 2<x≦4のとき 点Pは辺BC上にある。 1 B TP M C 辺BCの中点をMとすると, BCIAM であり よって, 2<x≦3のとき PM=1-(x-2)=3-x x-2 3 ◆結局 2<x≦4 のとき 3<x≦4 のとき PM=(x-2)-1=x-3 AM=√3 ここで PM=|x-3| ゆえに, AP? PM2+ AM2 から y=(x-3)2+3[1] 頂点(3,3), 軸 x=3 [4] 4<x<6 のとき 点Pは辺CA 上にあり, PC=x-4, の放物線 -------- AP2= (AC-PC)2 から {2-(x-4)}=(6-x)2 YA ! y=(x-6) 2 II =(x-6)2 [1]~[4] から 4 頂点 (6,0), 軸x=6 の放物線 3 0≦x≦2のときy=x2 x=0, y=0 は y=x2 に, 1 1 1 I 2<x≦4のときy=(x-3)2+3 x=6, y=0 は y=(x-6)2 1 T 4<x≦6 のときy=(x-6) 2 234 に含められる。 グラフは右の図の実線部分である。 場合 に 作って 吟味 O BM=1 6 x 0<x<2 2≤x≤4 C 3章 7 関数とグラフ

僕が解いた時に、黒丸している言葉が抜けてしまっていたんですが、入試でこれを書かなかったら減点になりますか？？

92 重要 例題 54 1次関数の決定 (2) 20 関数 y=ax-a+3 (0≦x≦2) の値域が 1≦y≦bであるとき,定数a, b 値を求めよ。 CHART SOLUTION グラフ利用 端点に注目 1次関数 y=ax+b というと,α40 であるが,単に関数というときは, a0 の場合に a=0, a=0 の場合も考えなければならない。 この例題では、xの係数がαであるから a>0, て, 値域を求める。 次に, 求めた値域が 1≦y≦b と一致するようにa,bの連立方程式を作って このとき,得られたaの値が 場合分けの条件を満たしているかどうか吟味す のを忘れずに。 解答 x=2のとき y=a +3 x=0のとき y=-a+3, [1] YA [1] a>0 のとき この関数はxの値が増加するとyの値も増加するから, x=2 で最大値6, x=0で最小値1をとる｡ よって a+3=b, -a+3= 1 これを解いてa=2,6=5 これは,α>0 を満たす。 [2] α=0のとき この関数は y=3 このとき,値域はy=3であり、1≦y≦b に適さない。 [3] α<0 のとき この関数はxの値が増加するとyの値は減少するから, x=0 で最大値 6, x=2で最小値1をとる。 よって -a+3=b, a+3=1 これを解いて a=-2, b=5 これは, <0 を満たす。 [1]~[3] から (a,b)=(2,5), (-2, 5) B = PRACTICE・・・ 54 ③ TIQ (1) 定義域が −2≦x≦2, 値域が −2≦y≦4 である1次関数を求めよ。 1 (2)y=ax+b (b≤x≤h+1) 方 値を求めよ b+3 -a+3 10 「定数関数 ba+3 [3].y a+3 E VVV (2) 3436 No. LIE Date- 10 も ky6

黄色いマーカー部分はなんの数？ですか？？？ どこから来た分数ですか？？？

基本例題 66 最大・最小の文章題(1) ①0000 BC=18, CA=6である直角三角形ABCの斜辺AB上に点Dをとり、Dか ら辺BC, CAにそれぞれ垂線 DE, DF を下ろす。△ADF と △DBE の面積 の合計が最小となるときの線分 DE の長さと、そのときの面積を求めよ。 ③ 基本60 CHART & SOLUTION 文章題の解法 最大・最小を求めたい量を式で表しやすいように変数を選ぶ DE = x とすると,相似な図形の性質から△ADF, △DBE はxの式で表される。 また、xのとりうる値の範囲を求めておくことも忘れずに。 解答 DE=x とし, △ADF と△DBE の DA 面積の合計をSとする。 D 0 <DE=FC <AC であるから (辺の長さ) 0 a-3 0<x<6) B E C xのとりうる値の範囲。 AF=6-x △ABC △ADF であり, △ABC: ADF=62: (6-x)2 相似比がmin→ 面積比は²: n² AABC= 11･18･654 であるから 2 三角形の面積は 内国産 △ADF= 3 (6-x)2 62 -•54=(6-x)² 1/2×(底辺)×(高さ) 2 CHEERHOU 7523/14 別解 長方形 DECF の面積 同様に,△ABC~△DBE であり△ABC:△DBE=62: x2 をTとすると Tが最大に x. なるときSは最小となる。 3 •54-2 よってして△DBE= 2 62 AS DF=3(6-x) から -2, q=11 T=x·3(6-x) したがって,面積は 549 por 11 (y =-3(x-3)2+27 S=△ADF+ △DBE をとる小大 0<x<6から, x=3でT 3 27 は最大値 27 をとる。 = 2{(-x2+x2} よって,線分 DE の長さが (x)=3(x2-6x+18) 3のとき、 S は 最小値 3 6 =3(x-3)²+273)-1.0 1/1･6･18-27=27 ① において, S は x=3 で最小値 27 をとる。 をとる。 よって,線分 DEの長さが3のとき面積は最小値 27 をとる。 8TH-31x0 $b #*@b#30 0%b,(C FLOR 662 d 117 3 8 2次関数の最大・最小と浸

P→Q＝P⊂Qが成り立つんですよね？ XY=0→X=0は偽じゃないんですか？ X=0の時、必ずXYは0なので……

■1-2. 命題の真偽 命題が正しい時を真、 間違っているときを偽と言います。 P⇒Qが真の時は、以下が成り立ちます。 Q. Ⓒ PCQ 条件Pは条件Qに含まれているということです。 それでは、簡単な実践です。 命題の真偽を判断してみてく ださい。 ※X、Yは実数とします。 (1)X+Y>0、XY>0ならば、 X> 0, Y>0 になる。 (2) X2=16ならば、X=4になる。 【解答】 (1)真、XY>0の時は (X>0、Y>0) または(X<0, Y <O)。 だから､ X+Y>0が成り立つのは、X>OnY>0の時だけで す。。 (2) 偽、 X2=16の時は、X=±4が成り立ちます。 ■ 1-3. 命題否定 条件Pに対して、 「Pでない」 条件は P

解き方自体は把握しました。 ですが、なぜ二式を足すと交点を交わる直線が求まるのか分かりません

5/205/ 基本例題 78 2直線の交点を通る直線 2直線 2x+3y=7 る直線の方程式を求めよ。 128 ①, 4x+11y=19 ･･････ ② の交点と点 (5, 4) を通 1p.115 基本事項 5, 基本 77 SOLUTION 直線の交点と点を通る方程式を求める問まもそも 解法の 2直線 f(x,y)=0,g(x,y)=0 の交点を通る直線 意味が よく分か らない 方程式 kf(x,y)+g(x,y)=0 (kは定数) を考える x, y で表される式をf(x, y) などと表す。 問題の条件は2つある。 加えると [1] 2直線 ①, ② の交点を通る [2] 点 (54) を通る 2点の そこで,まず,①,②の交点を通る直線(条件 [1]) を考え、次に,この直線が点 交点に (5,4)を通る(条件 [2]) ようにする。 なったりする 3章 解答 kを定数とするとき、次の方程式 11 別解 2直線 ①, ② の交点 の座標は (21) ③は, 2直線①, ② の交点を通 る直線を表す。 (1) (5, 4) よって,2点 (2,1),(5,4) を通る直線の方程式は k(2x+3y-7)+(4x+11y-19) 2 1-1/-1/(x-2) =0 Py-1=- ...... これで①②の交点を通る直線を ③点 (54) を通るとするとしてる すなわち 7 2 ③にx=5,y=4 を代入して LER JELP 15k+45=0 よって k=-3 これを③に代入すると -3(2x+3y-7) + (4x+11y-19)=0嵐中 整理すると |x-x-1=0 (INFORMATION 2直線の交点を通る直線 交わる2直線ax+by+c=0, ax+by+cz=0 に対して.. k(ax+by+c)+ax+by+c=0 (kは定数) ...... (*) は,kの値にかかわらず2直線の交点を通る直線を表している。 (ただし,直線 ax+by+c=0 は除く。) 2直線の交点(x,y) は, ax+by+c=0, ax+by+C2=0 を同時に満たす点であ るから, (*)はんの値にかかわらず成り立つ。 すなわち, (*)は2直線の交点を必ず 通る直線になる。 この考え方は直線以外の図形を表す場合にも通用するので,応用範囲が広い。 PRACTICE... 78 ③ 次の直線の方程式を求めよ。 と(_2 1)を通る直線 CHART O 10 11 19 7 3 19 4 x-y-1=0 直線

l-2mlが2lmlになるのがわかりません！

5/12 基本例題 90円と直線の位置関係 円x2+2x+y2=1 ② が異なる2点で交 わるような,定数mの値の範囲を求めよ。 p.132 基本事項 2 CHART SOLUTION 円と直線の位置関係 1 判別式 [2] 中心と直線の距離 ･･････ 方針① 円と直線の方程式からyを消去して得られるxの2次方程式の判別式 Dの符号を調べる。 方針② 円の中心と直線の距離と円の半径rの大小関係を調べる。 たとえば (x + 1)² + y^² = ² ( √5)² 円と直線が 異なる2点で交わる⇒ D>0⇔ d<r 1点で接する ⇔D=0 ← d=r 共有点をもたない ⇔D<O ⇔ d>r のとき、yの座標は [SDだぞ! 問題の条件は,方針① D>0 方針② d<r これからの値の範囲を求める 3章 なぜかゴ 解答 とかにすんなよ? 12 方針 ① ② を①に代入して整理すると (m²+1)x²-2(m²-1)x+m²-1=0 ★m²+1=0 であるから. xの2次方程式である。 判別式をDとすると D={-(m²-1)}-(m²+1)(m²-1) 1310 MORE 4 =(m²-1){(m²-1)-(m²+1)} =-2(m²−1)=-2(m+1)(m-1) D>0 HOE 円 ①と直線②が異なる2点で交わるための条件は よって -2(m+1)(m-1) > 0 ゆえに -1<m<1 ←(m+1)(m−1) <0 方針 ② ① を変形すると YA (x+1)2+y2=(√2) 2 inf. y=m(x-1)から, よって円 ① の中心は点(-1,0), (1) 直線②は常に点 (1,0)を 半径は √2である。 通る。 ② を一般形に変形。 円 ① の中心と直線②の距離をdと すると,異なる2点で交わるための 条件は 1-2ml mx-y-m=0 d<√2 d=|m・(-1)-0-m| 点 (x1, 1)と直線 であるから √²+(-1)2 ax+by+c=0 の距離は | ax+by+cl 両辺に正の数m²+1 を掛けて 両辺は負でないから 2乗して よって (m+1)(m-1)<0 A≧0, B≧0のとき -1<m<1 A<B ⇔ A°<B2 PRACTICE・・・ 90 ② 18 円 2+v²-4-6v+9=0 ① と直線y=kx+2 ...... ② (1) ① と直線y=mx-m m=-1 1..... 1 -1 H&m=1 |2|m| √2 √m²FI 2|m|<√2(m²+1) 4m² <2(m²+1) ゆえに 不等号が変わらないということ! ****** x A)) +(5-8 √ a² + b² 円円と直線,2つの円

解き方がまるで分かりません。どなたか詳しく解説お願い致します！

X5/23 00000 基本例題 92 円周上の点における接線 ・① 上の点A(-1, 0) における, この円の接 ...... p.133 基本事項 円 (x+3)2+(y-3)2=13 線の方程式を求めよ。 CHARTO SOLUTION 円周上の点における接線の方程式 ① 接点 重解 12 中心と接線の距離 =半径 Des ④ 接線半径 3 x₁x+y₁y=p² 方針①,②点Aを通りx軸に垂直な直線x=-1 はこの円の接線ではないか ら、 接線の方程式はy=m(x+1) と表される。 方針③円 ① の中心を原点に移す平行移動によって, 公式 xix+yiy=r2 を利 用する。 GRAPHER 方針 ④ 垂直⇔ 傾きの積が-1 を利用する。 解答 A ◆ x軸に垂直な直線でな 方針① 点Aにおける接線は,x軸に垂直でないから 求める 接線の方程式は、傾きをとすると y=m(x+1) (2) と表される。 いから, 傾きをとす 14 ②①に代入して (x+3)+(mx+m-3)=13 (1) 展開して x2+6x+9+m²x²+2m(m-3)x+(m-3)²=13 整理して (m²+1)x2+2(m²-3m+3)x+m²-6m+5=0 この2次方程式の判別式をDとすると D = (m²-3m+3)2-(m²+1)(m²-6m+5) AOx (2) =m+9m²+9-6m²-18m+6m² (a+b+c)=a+b2+r -(m^-6m²+5m²+m²-6m+5) =9m²-12m+4=(3m-2) 2 +2ab+2bc+2a ... 2 ◆接する ⇔D=0 ← ② に m= 2 3 142 ① ② が接するためには D=0 であればよいから m= 3 2 よって,接線の方程式は y=3√x+₁ 3 方針 ②点Aにおける接線は,x軸に垂直でないから 求める 接線の方程式は,傾きをとすると y=m(x+1) すなわち mx-y+m=0 ③ と表される。 ①, ③ が接するためには, 円の中心 (-3, 3) と接線の距離が 半径√13 と等しければよいから 408) |m・(-3)-3+ml √²+(-1) 2 -=√13 よって |2m+3|=√13(m²+1) 両辺を2乗して (2m+3)=13(m²+1) -3₁ を代入。 YA 1 (-3, 3) 2 ◆接する⇒ d=r 13 AOx |-2m-3|=|2m+3| 4m²+12m+9=13m² +13 9m². 17 ゆえに よって, 方針 ③ 円 円 ①は 点Aは にそれぞ における 2 であるか 式は逆の により 2 すなわ 方針 ④ 求める よって と直 [証明] 軸方

（2）で≦とかをどう決めるんですか？ 分からないので教えて欲しいです🙇‍♀️

0000 基本例題 31 1次不等式の整数解 -2x>-27 (2<²1 - 135 (1) 不等式x+8(4-x) >5を満たす 2 桁の自然数xをすべて求めよ。 38 不等式5(x-1) 2(2x+α) を満たすxのうちで, 最大の整数が6であ 基本 るとき,定数aの値の範囲を求lat CHARTO SOLUTION 5 20+5 1次不等式の整数解 数直線を利用 まずは、与えられた不等式を解く。 (1) 不等式の解で, 2桁の自然数であるものを求める。- (2) 不等式の解が,x<A の形となる。 ここで, x<Aを満たす最大の整数が であるということは, x=6 は x<A を満たすが, 6 A 7 X x=7 は x<A を満たさないということ。これを図 に示すと右のようになる。 2桁 14 10 11 12 1313.5x 解答 (1) 6x+8(4-x) >5から -2x>-27 .27 ゆえに x <- -=13.5 xは2桁の自然数であるから 10≤x≤13 よって x=10, 11,12,13 (2) 5(x-1)<2(2x+α) から x<2a+5 ① を満たすxのうちで最大の整数が6となるのは 6<2a+5≤7 ! のときである。 ゆえに 1 <2a≦2 「」と「」 よって 12/2<as1 どっち使うか わからかいです。 どう判断するんですか?! PRACTICE... 31 ③ (1) 不等式x+12/12/12/3x- 5 5 を満たす自然数 x をすべて求めよ。 うに (2) 不等式 5(x-α)≦-2(x-3) を満たす最大の整数が2であるとき,定数aの 範囲を求めよ。 6 2a+5 7 ①を満たす最大の整数 ◆展開して整理。 不等号の向きが変わ ◆解の吟味。 ◆展開して整理。 ←6<2a+5<7 とか 6≦2α+5≦7 などと ないように等号の に注意する。 ◆α=1のとき、不等 <7で、条件を満 a=1/1/2 のとき, 不等 <6で条件を満 ない。 〃 注意 2 20 ( [ [1 注意 X4 31(2 うど