基本例題 27 垂心の位置ベクトル
平面上に△OAB があり, OA=5,OB=6. AB = 7 とする。 また, △OABの垂
心をHとする。
(1) cOS ∠AOB を求めよ。
(2) OA=4,OB=6とするとき, OH をa, を用いて表せ。
脂針 三角形の垂心とは、三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点で
あり、△OABの垂心Hに対して, OA⊥BH, OB⊥AH,
ABOH が成り立つ。
そこで, OA⊥BHといった図形の条件をベクトルの条件
に直して解く。 (2) では OH =sa + t とし, OA･BH = 0,
OB・AH=0の2つの条件から,s,t の値を求める。
解答
(1) 余弦定理から
COS ∠AOB=
(2) (1)から
a b=la|1b|co
よって
ゆえに
① ② から
したがって
52+62-72 12
2･5･6
△OAB は直角三角形でないから,垂心Hは2点A, B
と一致することはない。
Hは垂心であるから
OH = sa + to (s,t は実数) とする。
OA⊥BH より OA・BH =0である:8=
から
a {sa+(t-1)}=0
slaf+(t-1)a.b=0
よって
ゆえに
すなわち 25s+6t=6
25s+6(t-1)=0
A
また, OBIAH より OB･AH = 0 であるから
す{(s-1)a+t}=0
(s-1)ã b+t|b²=0
S=
| cos∠AOB=5・6･ =6
5
24'
OA⊥BH, OB⊥AH
......
60 5
6(s-1)+36t=0 すなわち s + t=1 ···
19
144
t=
5
OH= a+
24
19 b
144
a H
✔
NU
p.29 基本事項 5 重要 29.
B
A
H
参考 |AB|=|-ar
=161²-26-a+|a1²
|AB|=7,|a|=5,||=6
であるから
72=62-25 ・a +5²
よって 4.1 = 6
B
指針
垂直の条件を
(内積)=0 の計算に結び
つけて解決する。
a=5, a∙b=6
★の方針。
①垂直→(内積) = 0
MAHOH-OA
② Aa-6=6, 161=6
1①-②から
24s=5
