-
![]()
|14で割ると5余り,9で割ると7余る自然数nのうち,3桁で最大のものを
不定方程式の整数解の利用
451
礎例題 104
基礎例題103
求めよ。
CHDL
Q GUIDE)
1次不定方程式の整数解の利用
1 条件からx, yを整数として, nは 14x+5, 9y+7 と 2通りに表され,
14x+5=9y+7 から 14x-9y=2
用する。
2 14 と9は互いに素であるから,14x-9y=2 の整数解が求められる。
解は整数えを用いて表される。
3 解が求められたら,不等式n<1000 を満たす最大の整数kの値を調べ
る。
さ
5章
日解答日
nは整数x, yを用いて
二公
22
n=14x+5, n==9y+7
と表される。
aをbで割った商をq,
14x+5=9y+7
余りをrとすると
りが
ある。
よって
すなわち
14x-9y=2
の
a=bq+r
メ=2, y=3 は 14x-9y=1 の整数解の1つであるから
長せた
解がすぐに求められなけ
れば互除法を利用する。
14=9·1+5, 9=5·1+4,
5=4·1+1 から
1=5-4-1
=5-(9-5-1).1
=5-2+9·(-1)
=(14-9-1)-2+9·(-1)
14·2-9-3=1
この両辺を2倍して
かっ
14·4-9-6=2
14(x-4)-9(y-6)=0
ASS
0-2から
14と9は互いに素であるから, ③ を満たす整数xは
二案な
x-4=9k すなわち x=9k+4(kは整数)
と表される。
=14-2-9-3
したがって
n=14x+5=14(9k+4)+5=126k+61
『n<1000 とすると 126k+61<1000
313
よって kく
42
-126k<939
0を満たす最大の整数えは
ゆえに,求めるnは
313
=7.4… …
42
k=7
n=126-7+61=943
14で割ると5余る自然数は
9で割ると7余る自然数は
5, 19, 33, 47, 61, 75,
7, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70,
よって, nの最小値は 61 で, 14と9の最小公倍数は 14·9=126 であるから
n=61, 61+126·1, 61+126-2,
このようにしてnをんの式で表すこともできる。
すなわち n=61+126k(kは0以上の整数)
1次不定方程式|
の000
