(1)なぜ、q(rより、qかつr＝qである事が分かるのですか？また、次の文もなぜそれでqならばsであるも教えて欲しいです。😢

重要例題 27 命題と集合 4つの条件,g,r,s について、 次の命題がすべて成り立つ。 (a) ならばgである。 (b)でなければgでない。 の (2) かつかつならばs である (c)sでなければ, gでないかまたはでない。 このとき、次の命題が成り立つことを証明せよ。 (1) g ならばsである。 指針 各条件が具体的に与えられていないため,このままでは手がつけられない。 命題の真偽に結びつくものは何か集合の包含関係と考えて,各命題を集合 て表す。 全体集合をひとし, p, g を満たすもの全体の集合をそれぞれP, Q とすると 命題 が真⇔ PCQP0 が成り立つ。asio (b), () が表す集合の包含関係から (1) (2) が表す集合の包含関係を導く。 そこで,これまでに学んだ集合の性質 (p.63,65参照)を利用して, (a), 解答 全体集合をUとし, 条件,g,r, s を満たすもの全体の集 を、それぞれP,Q,R, S とする。 このとき、命題 (a), (b), () は,次が成り立つことと同じで ある。 (a) PCQ (b) RCQ (1) (b)から QCR (c)より, SC (QR) であるから QCRより,Q0R=Qであるから QCS したがって、ならばsである。 (C)SC(QUR) 補集合の性 QnRCS ドモルガ QOR

(1)って、コレが否定ではないんですか？😢 なぜ、解答のようになるのでしょうか？

重要例題 26 命題⇒gの否定 次の命題の否定を述べよ。 (1)xが実数のとき,x21ならばx≠1である。 (2) x, yが実数のとき, x+y>2ならばx>1 または y>1である。 (3) すべての正の数xに対してx+a>0ならば, a≧0 である。 指針 例えば, (1) は x21 を満たす すべての実数xについて, x=1である ということを意味するから,「すべて」 を 「ある」に替えて,結論を否定すればよい。 一般に,命題⇒ gの否定は であってgでないものがある ① である。したがって,(1)の否定は,解答のように述べることができる。 (3)は「すべて」とあるが, 仮定も結論もαに関する条件であって すべての正の数xに対してx+a>0を満たす すべてのαについて, a≧0 である ということを意味しているから, その否定を, 次のようにしては誤りで ある。 「ある正の数xに対してx+α>0 ならば, a<0である」 コンマ 「,」に注意して, 仮定と結論をはっきりつかみ, ①に当てはめて 考える。 解答 (1)x2>1であってx=1である実数xがある。 (2)x+y>2 であってx≦1 かつ≦1である実数x, yが「かつ」と「または」が入 ある (3) 「すべての正の数xに対してx+α>0」 を 「a≧0」 れ替わる。 をg とする。 求める否定は であって」でないものがある」 で 「すべての正の数xに対してx+α>0であって, α < 0 となることがある。」 gの否定とは違うことに注意が必要である。 の否定は、次のことを意味している。 73

集合と命題です 途中までは解けるのですが、クとカの答えがなんで①と①なのかがわからないです 解説お願いします！！

10Uを全体集合とし,A,B,CをUの部分集合とする。 Uの部分集合 Xに 対して,Xの補集合をXで表す。 (1) U, A,B,Cの関係を図1のように表すと,例えば, A∩(BUC)はAと BUC の共通部分で, BUCは図2の斜線部分なので, AN(BUC)は図3の 斜線部分となる。 図 1 図2 図3 このとき (ANT) U (BNC) は ア の斜線部分である。 ア については、最も適当なものを、次の⑩~⑤のうちから1つ選べ。 ③ B. A 63 (2)全体集合 U を U= {0, 1,2,3,4,5,6,7,8, 9} とする。 また,Uの部 分集合 A, B を次のように定める。 A={0,2,3,4,6,8,9}, B={1, 3, 5, 6, 7, 9} (i) のとき A∩B={イ, AnB={オ ウ I カ キ} エ オ < カキ とする。 である。 ただしイゥ (i) ひの部分集合Cは (ANT)U(B∩C)=A を満たすとする。 このとき、次のことが成り立つ。 ANB の ク 。 ・A∩B の ケ ° ク ケ の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。 すべての要素はCの要素である どの要素もCの要素ではない ②要素には,Cの要素であるものと,Cの要素でないものがある

⑵で12の 3の階乗でかけて各位の和求めれるのはなぜですか 一の位の和とかなら一から4たして10じゃないんですか？

220 数学A EX ④12 X3 7つの数字 1234567から同じ数字を繰り返し使わないで, 整数を作るとき、女の いに答えよ。 (1)5桁の偶数は何通りできるか。 (2)1,2,3,4 のみを使ってできる4桁の整数すべての和を求めよ。 (3)1,2,3,4,5,6,7を使ってできる4桁の整数すべての和を求めよ。 (1) 偶数であるから,一の位の数字は2または4または6で 3通り 残りの万の位、千の位、百の位、十の位の数字の並べ方は, Pa通り 残りの6個から4個取る順列で よって, 5桁の偶数は 3×P=3×6・5・4・3=1080 (通り) (2)千の位、百の位、十の位、一の位に分けて考える 千の位について (A [HINT (2),(3) 4桁の整数の各位の 和を求める 1から6までの自然数の 3つの箱に分けて入れる (1) 空の箱があっても。 (2) どれか1つの箱だ (3) 空の箱があっては (1) 1枚のカードを3つ 3通り よって,6枚のカー 3°=729( 1000, 2000, 3000, 4□□□の形の整数はそ れぞれ 3! 通り (2) Aを空にして E 2通り 法は (C)! 千の位が1のとき、 この場合において 除いて 26-2= 同様に, B だけ, 62通り (3) よって, 求める場 62×3 2つの が空 よって, 空の箱 729- よって, 1, 2, 3, 4 のみを使ってできるすべての4桁の整の位,十の位の 数において、千の位の数字の和は →一面とくり上がりは、残り3個の数字2 考えなければならないからろも4を並べる 1×3!+2×3! +3×3!+4×3!=(1+2+3+4)×3!=60 百の位について □100, 2□□,300,□ 4□□の形の整数はそ れぞれ 3!通り よって, 1, 2, 3, 4 のみを使ってできるすべての4桁の整 数において, 百の位の数字の和は ( 1×3! +2×3! +3×3!+4×3!= (1+2+3+4)×3!=60 同様にして, 十の位, 一の位の数字の和はともに60である。 したがって, 求める和は 上か 1000×60 +100×60+10×60 +1×60 =(1000+100+ 10+1)×60 =66660 (3)(2)と同様に考える。 千の位について □□□の形の整数は 6P3通り 千の位の数字が234567である整数もそれぞれ P3通り ( よって, 1, 2, 3, 4 5 6 7 を使ってできるすべての4桁 の整数において, 千の位の数字の和は (1+2+3+4+5+6+7)×6P3=28×6・5・4=3360 同様にして,百の位, 十の位、一の位の数字の和はすべて 3360 したがって, 求める和は とれます (1000+100+ 10+1)x3360=3732960 EX 右の図のよ 3 14 にも同じ数 を求めよ。 各位ごとに計算する。 各位の数字の和に 1000, 100, 10, 1を掛け てをとる。 1行目には 1, 例えば, 1行目 びは、次の9 1-4 2-3-4 4-1 1行目の並 びが通り 24 13 34

(2)は何処から−aが来たのですか？説明お願いしたいです。

Zを整数全体の集合とするとき、次のことを証明せよ。 A={4n+1|n∈Z}, B={2n+1|n∈Z} のとき ACB かつ AB C={2x+3y|xEZ, y∈Z} のとき C=Z 指針 例えば,(1) について,各集合の要素を列挙してみると A= {......, -7, -3, 1, 5, 9, ......}, B= {......, 7, -5, -3,1,1,3,5,7,9, ......} -5 -7 -3 問題の関係は成り立つようにみえるが, A, B は無数に多くの要素 をもつ集合であるから,これでは証明にならない。 159 しかし、 既知の事項との連絡を図るため,これまでに学んだ集合 の性質やベン図の利用を考えても、証明の糸口は見えてこない。 このようなときは, 根底となる事柄 定義に戻って考えるとよい。 「xEA ならばxEB」 を示す 37 ACB の証明 A=B の証明 「AGB かつ BCA」 を示す なつけるのっとるでまわれているので他のを置く 解答 (1) XEA とすると, x=4n+1 (n は整数) と書ける。 このとき x=2(2n)+1 2n は整数であるから 2(2n)+1EB すなわち, xEA ならば x∈Bであるから また, 3EBであるが, 3年A であるから ACB A ≠ B (2) a∈C とすると, a=2x+3y (x, y は整数) と書ける。 Aのどんな要素も 2x (整数) +1 の形に表されること いっはならないと 4n+1=3 を満たす nは存在しない。 y 2x+3y は整数であるから aЄZ すなわち, αEC ならば α EZ であるから 逆にとする。 CCZ a=2(-a)+3a で, - a, αはともに整数であるから 2(-a)+3aEC すなわち、 ならばECであるから C=Z CCZ かつ ZCCであるから ZCC どんな整数も 2x (整数)+3 の形に表されるこ す。

なぜx-3になるんですか？

276 重要 例題10 グループの人数と集合 (3つの集合) 人は13人,C市に行ったことのある人は30人であった。 00000 八市とB市に行 たことのある人はx人, A市とC市に行ったことのある人は9人, B市と 市に行ったことのある人は10人であった。 28人であ ある人は3人, A市にもB市にもC市にもない人はこ った。このとき, xの値を求めよ。 ◎基本3.D.275 STEP L CHART & SOLUTION 集合の応用問題 図をかいて 順に求める ②方程式を作る ②の方針で解く。 図において分割される各部分集合の要素の個数をかき込んでいく。 そして、 残った部分の要素の個数をα, b とおいて考える。 解答 n(A∩BNC)からの 個数をかき込んでいく。 全体集合をひとし, A市, B市, C 市に行ったことのある人全体の集合 を,それぞれA, B, Cとする。 -U(100)- -A(50) 28 a -3. 右の図のように, 要素の個数 α, bを 6 3 定めると a+(x-3)+3+6=50 b+(x-3)+3+7=13 a+b+14+(x-3)+7+6+3+28=100 これらの式を整理すると 14 B(13) a+x=44 a+b+x=45 ・①, ③ 6+x=6 .... 2, ①から a=44-x ②から 6=6-x x=5 これらを③に代入して整理すると よって PRACTICE _x+50=45 C(30) <n(A)=50 n (B)=13 n(U)=100 (BUA) Jnana

赤までは分かるんですけど、それ以降がなぜそういう不等号になるのか分からないので教えてください！

である。 の倍数全体) の倍数) の る。 n (A∩B) の最小値は 別解 自転車だけ利用している生徒の 人数を α 電車だけ利用している生 徒の人数をb. 両方とも利用してい る生徒の人数をc どちらも利用し ていない生徒の人数をd とすると a+c=35.6+c=30, 行数の場合が 1,5の場合 これから 35-30=5人) -U(42)- L 29 (35+30-c)+d=42009) A(35) a=35-c, b=30-c, d=c-23 a≧0,6≧0,d≧0であるから 23≦c≦30 このとき 75≤a≤12, 0≤d≤77 B(30) b a 81 d n =n

どうやって矢印の式のようにしたんですか??

コである ゆえに EX (1) 次の命題の真偽を調べよ。 ただし, a, b は整数とする。 44 (ア) α2+62 が偶数ならば, ab は奇数である。 (イ) 2 +62 が偶数ならば, a+bは偶数である。 (2) xは実数, αは正の定数とする。 2<x<3 が a<x<2aの十分条件となるようなa の値の 範囲を求めよ。 (1) (ア) (反例: α = 2,6=2) CHART 命題の真偽 ない (イ) 真 (証明) 対偶は 1 真をいうなら証明 「a + b が奇数ならば,'+62は奇数である。」 12 センター これを証明する。 α + b が奇数ならば, 整数を用いて a+b=2k+1 と表される。 偽をいうなら反例 対偶を利用。 命題pg とその対偶 真偽は一致す a2+62=(a+b)2-2ab か ・カ =(2k+1)2-2ab る。 Job =2(2k2+2k-ab)+1 2k2+2k-ab は整数であるから, ' + 62 は奇数である。 よって, 対偶が真であるから, 与えられた命題も真である。 (2)2<x<3をp, a<x<2aをg とすると,かがgの十分条 件となるのは, (1) inf a + b が奇数なら ば, a,bの一方が偶数で 他方は奇数である。 この ことを利用してα+62 が奇数であることを示し てもよい。 命題 pq が真 05° となるときである。 よって, P={x|2<x<3}, Q={xla<x<2a} とすると, PCQ が成り立てばよいから は十分条件 a≦2 かつ 3≦2a ゆえに、 求めるαの値の範囲は a 20 % 3 BAD ≤a≤2 2

赤線の部分つてどういう意味ですか?

81 基本 例題 45 √3 が無理数であることの証明 00000 ・証 命題「n は整数とする。n2が3の倍数ならば,nは3の倍数である」は真で ある。これを利用して,√3 が無理数であることを証明せよ。 基本44 7 CHART & SOLUTION 証明の問題 直接がだめなら間接で 背理法 √3が無理数でない (有理数である) と仮定する。このとき,√3=r(rは有理数)と仮 定して矛盾を導こうとすると,「√3=の両辺を2乗して,3=r」となり,ここで先に進 めなくなってしまう。そこで,自然数 α, b を用いて3=号(既約分数)と表されると仮 定して矛盾を導く。 解答 √3 が無理数でないと仮定する。 2章 6 論理と集合 a=√36 このとき3はある有理数に等しいから, 1 以外に正の公約 数をもたない2つの自然数a, b を用いて、3=0と表される。 ゆえに 両辺を2乗すると d2=362 ① よって, d2は3の倍数である。 αが3の倍数ならば, αも3の倍数であるから,kを自然数 として a=3k と表される。 これを① に代入すると 9k2=362 すなわち 62=3k2 よって, 62 は3の倍数であるから,も3の倍数である。 ゆえに,aとbは公約数3をもつ。 これはaとbが1以外に正の公約数をもたないことに矛盾す る。 したがって√3 は無理数である。 既約分数 : できる限り 約分して, aとbに1以 外の公約数がない分数。 inf. 2つの整数 α 6 の最 大公約数が1であるとき aとは互いに素である という (数学A参照)。 下線部分の命題は問題 文で与えられた真の命 題である。 なお, 下線部 分の命題が真であるこ との証明には対偶を利 用する。 P7

(2)で、なぜ　〜ならば、赤線にの部分になるのか分からないので教えてください！

c<x< (2) 与えられた命題の対偶は a = 0 ならば 「xについての方程式 ax+6=0 は 解をもたないか,または2つ以上の解をもつ」 これを証明する。 ax=-b において a = 0, 6=0 ならば解をもたない a = 0,6=0 ならば 無数の解をもつ ゆえに,対偶は真であるから,もとの命題も真である。 ← 「ax+b=0 がただ1 つの解をもつ」の否定は 「ax+b=0 が解をもた ないか,2つ以上の解を もつ」