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基本 例題 45
√3 が無理数であることの証明
00000
・証
命題「n は整数とする。n2が3の倍数ならば,nは3の倍数である」は真で
ある。これを利用して,√3 が無理数であることを証明せよ。
基本44
7
CHART & SOLUTION
証明の問題
直接がだめなら間接で 背理法
√3が無理数でない (有理数である) と仮定する。このとき,√3=r(rは有理数)と仮
定して矛盾を導こうとすると,「√3=の両辺を2乗して,3=r」となり,ここで先に進
めなくなってしまう。そこで,自然数 α, b を用いて3=号(既約分数)と表されると仮
定して矛盾を導く。
解答
√3 が無理数でないと仮定する。
2章
6
論理と集合
a=√36
このとき3はある有理数に等しいから, 1 以外に正の公約
数をもたない2つの自然数a, b を用いて、3=0と表される。
ゆえに
両辺を2乗すると
d2=362
①
よって, d2は3の倍数である。
αが3の倍数ならば, αも3の倍数であるから,kを自然数
として a=3k と表される。
これを① に代入すると
9k2=362
すなわち
62=3k2
よって, 62 は3の倍数であるから,も3の倍数である。
ゆえに,aとbは公約数3をもつ。
これはaとbが1以外に正の公約数をもたないことに矛盾す
る。
したがって√3 は無理数である。
既約分数 : できる限り
約分して, aとbに1以
外の公約数がない分数。
inf. 2つの整数 α 6 の最
大公約数が1であるとき
aとは互いに素である
という (数学A参照)。
下線部分の命題は問題
文で与えられた真の命
題である。 なお, 下線部
分の命題が真であるこ
との証明には対偶を利
用する。
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