基本 例題 110 三角形の重心の軌跡 (連動形)
00000
DO
2点A(6,0), B(3, 3) と円 x +y2=9上を動く点Qを3つの頂点とする三角形
の重心Pの軌跡を求めよ。
/p.174 基本事項 1, 2 重要 113.
114
指針 動点Qが円周上を動くにつれて, 重心Pが動く。 このようなものを連動形 (Qに
動してPが動く)ということにする。 連動形の問題では、次の手順で考えるとよい。
軌跡上の動点P(x,y) に対し、他の動点 Qの座標は,x,
例えば, s, t を使い, Q(s, t) とする。
② 点Qに関する条件をs, t を用いて表す。
13 2点P,Qの関係から, s, tをx,yで表す。
TA
y以外の文字で表す。
4 ② ③ の式からs,t を消去して, x,yの関係式を導く。
なお,上で用いた s, tを本書ではつなぎの文字とよぶことにする。
CHART 連動形の軌跡 つなぎの文字を消去して,x,yの関係式を導く
P(x, y), Q(s, t) とする。
解答 Qx2+y2=9上を動く
から
2+1=9
①
(s, t)
YA
A
B(3, 3) SA
Je
-(3,1)
点Qの条件。
Q
点Pは△ABQの重心である
A
から
-3
op(x,y)
13
6 x
6+3+s
0+3+t
x=
3,y=
3
-3
点Pの条件。
②
②から
①に代入して
s=3x-9, t=3y-3
(3x-9)2+(3y-3)=9
したがって
(x-3)'+(y-1)=1
ゆえに、点Pは円 ③上にある。
逆に,円 ③上の任意の点は、条件を満たす。
よって, 求める軌跡は
中心が点 (3,1), 半径が10円(*)
......
③
A
上の例題の直線 AB:x+y-6=0と円x2+y²=9けせて上
もたないから
4411
P,Qの関係から,s,t
xyで表す。 なお、
Aは
{3(x-3)}+{3(y-1)}=9
この両辺を9で割って
③を導く。
(*) 円 (x-3)+(y-1)=1
でもよい。
円
.....
