V7 は無理数であることを証明せよ。 ただし, nを自然数とするとき, n°が7の
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基本
例題59
V7 が無理数であることの証明
倍数ならば,nは7の倍数であることを用いてよいものとする。
【類九州大)
基本 58
指Tレ 無理数であることを 直接証明することは難しい。そこで、前ページの例題と同様
の接がだめなら関接で背理法
に従い「無理数である」 = 「有理数でない」 を, 背理法で証明する。
つまり,V7 が有理数(すなわち既約分数 で表される)と仮定して矛盾を導く。
相定 2つの自然数 a, bが1以外に公約数をもたないとき, aとbは 互いに素である
(数学 A参照)といい,このとき, は既約分数である。
a
解答
ある
V7 が無理数でないと仮定すると, 1以外に正の公約数をもた
ない自然数 a, bを用いて, V7= と表される。
a
/7 は実数であり,無理数
でないと仮定しているから,
このとき
両辺を2乗すると
よって, a° は7の倍数であるから, aも7の倍数である。
ゆえに,cを自然数として, a=7cと表される。
この両辺を2乗すると
0, ② から
よって,?は7の倍数であるから, bも7の倍数である。
ゆえに, aとbは公約数7をもつ。
これは,aとbが1以外に公約数をもたないことに矛盾する。
したがって,V7 は無理数である。
a=7b
α=76°
有理数である。
の
1例題の 「ただし書き」 を用
いている。
a=49c?
76°-49c? すなわち ぴ=7c" +
くこれも,「ただし書き」によ
る。
天モ)
検討
上の解答で示した背理法による証明法は, V2, ¥3, ¥5 などが無理数であることの証明にも用
いられる証明法である。 この場合
「n'がん(k=2, 3, 5) の倍数であればnもんの倍数である」
ーとを利用する。なお, 上の例題文のよっに, 「(*)を用いてよい」などと書かれていなければ、
(*)も証明しておいた方が無難である。
「白然数 nに対し, n*が7の倍数ならは, n は7の倍数である」ことの証明は, か、98 基本
例題56 と同様にしてできる。
