1) aを実数とする、 3次方程式 ポー2(a-1)ポー(a-1)x+8=0 は虚数
が方程式 f(z)=0 の解ならば、 αと共役な複素数aも解であることを示
2) S(2)=D2°+bz?+cz+d=0 を実数係数の3次多項式とする。 複素数a
の解が複素数平面上で正三角形となるようにaの値を定めよ。
複素数平面
4
複素数平面と共役複素数
211
91
(中部大)
せ、
(広島大)
(1) 実数解は目の子で探します. そ
のためにはaまたはa-1でまとめ
精講
解法のプロセス
てみるのがよいでしょう. 残りの2解は実数係数
の2次方程式の解となるので, この方程式は虚数
解をもつことが必要です。
(2) (1)を真似ることにして, f(z)=0 が実数解
をもつことを示すのが1つの方法です。 実数の範
囲でz→ ±0 とすれば簡単に示せます。 もう1
つは,自分で思いつくのは難しいかもしれません
が,共役複素数の性質を活用する方法があります。
(1)を真似る
共役複素数の
性質を使う
実数解をもつ
ことを示す
解答
0)方程式の左辺を a-1についてまとめると
+8-2(a-1)z(r+2)=0
;(ェ+2)(r°-2ax+4)=0
よって, 実数解は r=-2 である。. 題意が成り立
つためには, 2次方程式
-2a.r+4=0
……の
虚数解をもつことが必要だから, 判別式を考え
て
a-4<0
. -2<a<2
このとき,①の虚数解は
エ=a土(4-α'i