Question

おと

赤線部が分かりません。
なぜf(x)の極限が±∞となるとき、f(z)=0
は実数解をもつのでしょうか？

1) aを実数とする、 3次方程式 ポー2(a-1)ポー(a-1)x+8=0 は虚数
が方程式 f(z)=0 の解ならば、 αと共役な複素数aも解であることを示
2) S(2)=D2°+bz?+cz+d=0 を実数係数の3次多項式とする。 複素数a
の解が複素数平面上で正三角形となるようにaの値を定めよ。
複素数平面
4
複素数平面と共役複素数
211
91
(中部大)
せ、
(広島大)
(1) 実数解は目の子で探します. そ
のためにはaまたはa-1でまとめ
精講
解法のプロセス
てみるのがよいでしょう. 残りの2解は実数係数
の2次方程式の解となるので, この方程式は虚数
解をもつことが必要です。
(2) (1)を真似ることにして, f(z)=0 が実数解
をもつことを示すのが1つの方法です。 実数の範
囲でz→ ±0 とすれば簡単に示せます。 もう1
つは,自分で思いつくのは難しいかもしれません
が,共役複素数の性質を活用する方法があります。
(1)を真似る
共役複素数の
性質を使う
実数解をもつ
ことを示す
解答
0)方程式の左辺を a-1についてまとめると
+8-2(a-1)z(r+2)=0
;(ェ+2)(r°-2ax+4)=0
よって, 実数解は r=-2 である。. 題意が成り立
つためには, 2次方程式
-2a.r+4=0
……の
虚数解をもつことが必要だから, 判別式を考え
て
a-4<0
. -2<a<2
このとき,①の虚数解は
エ=a土(4-α'i

212 第4章 複素数平面
ゆえに,もとの方程式の3解が正三角形をなす条
件は,右図より
AM:BM=a+2:V4-α°=V3:1
: 3(4-a')=(a+2)°
; (a+2)(a-1)=0
のに注意して求める値は a=1
(2) えを実数の範囲で考えると
lim /(r)- lim r{1+2+S+4)
130
-2
C
d
エ→土0
エ→土
=±8 (複号同順)
よって,f(z)=0 は実数解をもつ.それを z=k
とすると
f(z)=(z-k)(z?+pz+q)
と表せる、ただし, p, qは実数である。
ゆえに,f(z)=0 が虚数解αをもてば,それは
2+ pz+q=0
合 f(x)は連続である
合実際に{(z)をzーkです。
てみればよい
aが実数のときは a=g*
3
から証明すべきことは何らた
の解であるから, D=pー4q<0. このとき, 3
い
の解は
ーカ土V4q-がi
2
となるので, αも解である。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ガラス固化体@プロフ読んで

x→±∞のときf(x)→±∞ということは絶対にどこかで少なくとも一回はx軸と交わるから、ということではないでしょうか

おと

なるほど!
そうだったのですね！
分かりやすく教えて下さってありがとうございました！