3 2次方程式
Think
例題 75
ある区間でつねに成り立つ不等式
次の条件が成り立つような定数αの値の範囲を求めよ.
(1) 2≦x≦6 で, つねにx-4ax+4a+8<0 が成り立つ.
(2) 2≦x≦6 で, つねにx-4ax+4a+8>0 が成り立つ.
考え方 グラフで考える. f(x)=x-4ax+4a+8 のグラフは下に凸
(1) 区間内での最大値が負であればよい.
m
(2) 区間内での最小値が正であればよい.
解答 f(x)=x2-4ax+4a+8 とおくと,
f(x)=(x-2a)-4a²+4a+8
(1) y=f(x) のグラフは下に凸なので,
****
2≦x≦6 での最大値はf(2) または ∫ (6) である.
2≦x≦6 でつねに f(x) <0 となる
条件は,
Jf(2)=-4a+12 < 0
lf(6)=-20α+44 < 0
これをともに満たすのは, a>3
(2)y=f(x)のグラフは下に凸で,軸は直線x=2a
(i) 2a <2 つまり α <1 のとき
2≦x≦6 での最小値はf(2)
よって, 求める条件は,
f(2) = -4a+12 > 0
したがって a <3
これと α <1より, a <1
(ii) 2≦a≦6 つまり 1≦a≦3のとき
2≦x≦6 での最小値はf(2a)
よって, 求める条件は,
81
2a
26x
どちらも負になれば
よいから、 場合分け
はしない.
下に凸なので,最小
となるのは軸, 左端
x=2, 右端 x=6の
いずれか
軸の位置で3通りに
場合分け
必ず, 場合分けした
範囲と合わせる.
f(2a)=-4a²+4a +8 > 0
a2-a-2<0
したがって,
-1<a<2
2
2a 6 x
(a+1) (a-2)<0
これと 1≦a≦3 より, 1≤a<2
-1<a<2
(iii) 6 <2α つまり α>3 のとき
2≦x≦6 での最小値はf(6)
よって, 求める条件は,
したがって, a<-
f(6)=-20a+44> 0
11
これと α>3 より, 解なし
よって, (i)(ii)より,
a<2
12a
(i)
(ii)
XC
1
2 a
場合分けしたものは,
最後はドッキング
20
