-
![]()
基礎問
202 第7章
131 群数列 (I)
1から順に並べた自然数を,
1|2, 34, 5, 6, 7|8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15|16,
のように,第n群 (n=1, 2, ...) 2-1 個の数を含むように分け
る.
(1) 第n群の最初の数をnで表せ.
(2)第n群に含まれる数の総和を求めよ.
(3) 3000 は第何群の何番目にあるか.
い
ある規則のある数列に区切りを入れてカタマリを作ってできる群数
|精講
列を考えるときは,
.7e1
「もとの数列で、はじめから数えて第何項目か?」
と考えます。このとき,第n群に入っている項の数を用意し,各群の最後の数
に着目します.
解 答
(1) 第 (n-1) 群の最後の数は、はじめから数えて各群の最後の数が基
(1+2+…+2"-2) 項目初項り、公比2.項数n-1
すなわち, (2"-1-1) 項目だからその数字は
準
<等比数列の和の公式
を用いて計算する
第 (n-1) 群
203
(1)より,2"-130002"
第n群
(1) SET
第 (n+1) 群
3000,
1
2-1-1-
2"-1
2-1
2"
ここで,2"=2048, 2124096 だから
2" <3000<212 .. n=12
よって, 第12群に含まれている.
このとき,第11群の最後の数は, 2"-1=2047 だから,
(1)
(
30002047953より, 3000は第12群の953番目にある.
注1.第12群に含まれているとき,第12群の最初の数に着目すると
3000-20481と計算しないといけません。逆に, ひき算をすると答
がちがってしまいます。
注2.(3) 2行目の 2"-13000<2"は2"-13000≦2"-1 でも,
2"-1-1<3000≦2"-1 でもよいのですが, (1) を利用すれば解答の形に
なるでしょう。
注3 (1),(2)はnに具体的な数字を入れることによって検算が可能です。
ポイントもとの数列に規則のある群数列は,
Ⅰ. 第群に含まれる頃の数を用意し
Ⅱ. 各群の最後の数に着目し
Ⅲ. はじめから数えて何項目か
と考える
第7章
2-1-1
よって, 第n群の最初の数は
(2"-1-1)+1=2"-1
(2)(1)より,第n群に含まれる数は
初項 2"-1, 公差 1 項数 27-1 の等差数列.
よって, 求める総和は
1/21・2"-1{2・2"-'+ (2"-1-1)・1}
=2"-2(2.2"-1+2"-1-1)=2"-2(3・2"-1-1)
1
(別解)2行目は初項2"-1 末項2"-1 項数 27-1 の等差数列と考えて
もよい。
(3)3000は第n群に含まれているとすると
演習問題 131
1から順に並べた自然数を
1|2, 34, 5, 6| 7, 8, 9, 10 | 11, 12, 13, 14, 15 | 16,
のように,第n群にn個の数を含むように分ける.
(1) 第n群の最初の数を求めよ.
(2)第n群に含まれる数の総和を求めよ.
(3)100 は第何群の何番目にあるか.
