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基本 例題 101
多面体の面辺, 頂点の数
が正しいときは
正二十面体の各辺の中点を通る平面で, すべてのかどを切
り取ってできる多面体の面の数f,辺の数e, 頂点の数を,
それぞれ求めよ。
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p.418 基本事項 4
421
項 1. 2. 31
CHART & SOLUTION
このようなタイプの問題では、切り取られる面の形や面の数に注目する。
まず、もとの正二十面体について、頂点の数, 辺の数を調べることから始める。
→正多面体の辺の数
(1つの面の辺の数) × (面の数)÷2
UN
正多面体の頂点の数 (1つの面の頂点の数)×(面の数)÷(1つの頂点に集まる面の数)
問題の多面体の頂点の数v, 辺の数e,面の数の3つのうち,2つがわかれば、残り1つは
オイラーの多面体定理 v-e+f=2 から求められる。
3章
12
解
答
face
正二十面体は,各面が正三角形であり、1つの頂点に集まる
面の数は5である。 したがって, 正二十面体の
×
辺の数は
3×20÷2=30
問題の多面体は,次の図の
ようになる。 この多面体を
二十面十二面体
ということがある。
空間図形
頂点の数は
3×20÷5=12 ...... ①
772
次に、問題の多面体について考える。
正二十面体の1つのかどを切り取ると、 新しい面として正五
角形が1つできる。
①より, 正五角形が12個できるから,この数だけ, 正二十面
体より面の数が増える。オラ
したがって、面の数は
f=20+12=32
辺の数は、正五角形が12個あるから
頂点の数は, オイラーの多面体定理から
e=5×12=60
垂直
v=60-32+2=30
INFORMATION
オイラーの多面体定理の覚え方
正二十面体の各辺の中
点が問題の多面体の頂
点になることに着目し
て 頂点の数から先に求
めてもよい。
ないかを答
次のように,e=v+f-2 の形にすると覚えやすい。
オイラーの多面体定理 e=utf-2
線は 帳
面 に引け
(辺の数)= (頂点の数) + (面の数) -2
PRACTICE 1016
正十二面体の各辺の中点を通る平面で,すべてのかどを切り取
ってできる多面体の面の数f,辺の数e, 頂点の数vを, それぞ
れ求めよ。
