(an)2、5、10、17、26、…の数列の初項から第ｎ項までの和を求めよという問題で、下の画像の式の＋1をしているのがなぜなのかが理解できません。教えて頂きたいです。

ani2+タイ2m-1)Din) 2+[2+(h-攻h-1) * 2+ 2(h-1)4 (n-1)2 *2t2n-247"f2n+1 - n"+1

(2)の階差数列の第k項が2^kなのですが、何度考えても2×2^(k－1)になります。また、元の数列の第n項も指数の部分がひとつずれてしまいます。 何が間違っているのか教えて頂きたいです。

(13) (A) 次の数列の階差数列の第k項を求めよ。また,もとの数列の第n項を、 (1) 2, 6, 12, 20, 30, 42, (2) 3, 5, 9, 17, 33, 65, … 日日ア悠えよ。

(タ)から分かりません、、 誰か教えて下さい🙏

[2] 数列{b,}を次の条件(あ), (い)により定める。 (あ) b,=1 (い) m=1, 2, 3, … に対して m が奇数ならば bm+1= -2bm+3 m が偶数ならば bm+1= - bm+1 ソ のでm=1 として, b2= であり,2でm=2 として, b3 = セ である。 b,-2+3- Cn= ban-1(n=1, 2, 3, …) とおくと b3 - -b2+! Cn+1= b2n+1 タ チ ニ 2n 02n-1- テ ツ Cn テ 三 が成り立つから,数列{cn}の一般項は Cn= ト ナ である。また, dn= ban (n=1, 2,3, …)とおくと, 数列{dn} の一般項は d,= ネ ヌ である。 ネ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) O n-2 0 n-1 2 n 3 n+1 の n+2

3行目のbn＋1＝3/2bn＋1/2というのはどうやって出てくるんですか？

520|第8章 数 で表されている数列 {an} の一般項は, 「両辺を+1 で割って特性方程式を用いる」方 法,または「両辺を+1で割って階差数列を利用する」方法で求められる。 Check 漸化式 an+1=D pan+r" (bキ1) 例題 293 考え方(n)=r"で表されている場合の漸化式である。 一般に,漸化式が, an+1=D an+r"(キ1, rキ1) n+1 n+ 注 または「両辺をの1で割って階差数列を利用する」方法で求められる 解答1 an+1=3an+ 2" の両辺を27+1 で割ると, 1 3.an 22「2 1 an ……D とおくと, 2" 27+1=2-2" an+1 2"+1 ここで,bn= 三 b=-2 _1 3 1 b= 2' 3 より, 2 bn+i+1= 2 2 土3 3 1 3 20+5 したがって,数列{bn+1} は, 初項bi+1= の等比数列であるから, あ+1=(より、6、=() よって、のより、a.-2%ー2|()-リーー (ーが 公比 2 2 2 M 2,0装 ) 32 より,α=-1 い {6}の一般項を漸化 373)2-1 2 2 2 T1)=式より求める。 よって,①より, an=2"bn=2"} -1}=3"-2" 2"x()-2x n =2"× 2n

数列で写真のようにやるのかと思ったのですが、なぜnー2ではなくn−1なのでしょうか？ よろしくお願いします

2 2 (2) この数列の階差数列は 1, 2, 4, 8, その一般項をb とすると, b,=D1-2"-1 すなわちbォ%=D2"-1 である。 20-リー1 1-2"リ-1) なわち a,=2"-+1 よって, n22のとき n-1 a=Q」+ 22-1=2+- 2-1 k=1 初項はa,=2 なので, この式はn=1のときにも成り立つ。

3行目のbn＋1＝…っていうのは、どうやって分かるんですか？

Check 例題293 漸化式 an+1= pantr" (pキ1) で定義される数列 {an) の一般項 anを求めよ。 a=1, an+1=3an+2" 考え方 f(n)=rn で表されている場合の漸化式である。 D という特性 で割って特性方程式を用いる」方 an+1=p ant r" (カキ1, rキ1) 一般に、漸化式が, で表されている数列 {an} の一般項は,「両辺をr” 法,または「両辺を+1で割って階差数列を利用する」方法で求められる。 +1 an+1=3an+ 2"の両辺を27+1 で割ると, 1 解答1 an+1 27+1 3 an Cn ………D とおくと, 2 2"+1-2-2" ここで,bn= ニ 2 2" 2 ai b= 1 2! 2 3 より。 1 3 =3, bn+1=;6n bn+i+1= 2 2 1 3 公比 2 3 Q= 2 w m 3 2 したがって,数列{bn+1} は, 初項 b.+1= 2 てい より,α=-1 {6}の一般項を漸化 の等比数列であるから, 3 I-u より, 3,送O) 3 bn= n 3 bn+1=} 22) 2)1歳)8-式より求める。 よって, ①より、 a-=2%=2()ーリーダー2 ー 3 -1}=3"-2" 雑 73 3 =2"×- 2" 2"×

波線の式の意味がわかりません。どうやって導いたんですか？

Check 断化式と奴学的帰飛 例題 292 漸化式 an+1=pan+f(n) (カキ1) a1=3, an+1=3an+2n+3 で定義される数列fant の一般項 anを求めよ。 第8章 考え方 解答1漸化式an+1=3an+2n+3 において, nを1つ先に進めて an+2 と an+1 に関 る関係式を作り,引いて,{an+1-an}に関する新化式を導く. 解答2 an に加える(または引く) nの1次式 pn+qを決定することにより, と変ごき {an+ pn+q} が等比数列になるようにする。 解答1 an+1=3an+2n+3 : 0より、 an+2=3an+1+2(n+1)+3 2-0より, O bn=an+1ーan とおくと、 bn+1=3bn+2, のは①のnにn+1 を代入したもの 差を作り,nを消去 an+2-an+1=3(an+1- an) +2 する。 b=Q2-a=3a+2+3-a=11」 のより, a2=3a」+2+3=14 α=3a+2 より, より, bg以=3(b,+1), bi+1=12 したがって,数列(bn+1} は初項12, 公比3の等比数列 だから, bn+1=12-3"-1=4-3" bn=4-3"-1 Q=-1 n22のとき, 12.3"-1=4·33"-1 =4-3" n-1 n-1 an=ai+2b=3+(4·3*-1)=3+ 12(3-1-1) 3-1 k=1 k=1 =6-3"-1_n-2=2·3"-n-2 n=1 のとき,a=2·3'-1-2=3 より成り立つ、 よって, 6-37-1=2-3-3^-1 =2-3" n=1 のときを確認 an=2-37-n-2 解答2 p, qを定数とし, an+1+か(n+1)+q=3(an+pn+q) とおくと,a an+1=3an+2pn+2q-p もとの漸化式と比較して, 2カ=2, 2q-p=3 より, p=1, q=2| =3an+3pn+3q よ おしたがって, an+ュ+(n+1)+2=3(a,+n+2), ai+1+2=6 | り, anキ1=3am+2pn より,数列{an+n+2}は初項6, 公比3の等比数列 よって,antn+2=6·3"-1=2.3" より, an=2·3"-n-2 a=3 an+1+ pn+p+q m w +2q-p Focus 階差数列を利用して考える 注》例題291(p.515) のように例題 292 でも特性方程式を使うと,α=3α+2n+3 より, 出 となる。これより, an+1+n+=3(a,+n+3) な曲 順番になっていない 3 2 3 Q=-n- 2 5 ボで と変形できるが, 等比数列を表していないので, このことを用いることはできない。注 お Oチ ないロー 意しよう.(b.518 Column 参照) (出等) a,=2, an+1=2an-2n+1 (n=1, 2, 3, ……)によって定められる数列 {anl 292 について, (1) 6,=an-(an+B) とおいて,数列(bn} が等止比数列になるように定数 α. B の値を定めよ。 (2) 一般項 an を求めよ。 練習 (滋賀大)

左の下線部から右の下線部になる過程を教えてください！

a+1, a,の係数がnの式の問題では,an+, an の係数がそれぞれf(n+1), 重要例題 114 s(n)a= b, とおく漸化式 次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。 508 12) a=2, nan+1=(n+1)an+1 dn+1- dn 「n+1 基本95. lOLUTION CHART O 「(n)となるように式変形をする。 となっている。 an+1の係数が n (1) 与えられた漸化式は, an の係数が 両辺にn(n+1)を掛けることで (n+1)an+1=nan +1- An n+1 anの係数がn, an+1 の係数が(n+1)となる。 (2)(1)と同様に両辺をn(n+1)で割ると An+1 an nan+1=(n+1)an+1 n+1 (解答) (1) 両辺に n(n+1)を掛けると (n+1)an+1=nan や bn+1=(n+1)a、 b,=na, とおくと bn+1= bn また,b=1·a,=1 から bn= bn-1=………= b=1 bn an 1 したがって b=1 よって n n 1 1 An+1 n+1 an (2) 両辺を n(n+1)で割ると *n(n+1)キ0 n An b。 n とおくと bn+1= ba+ 合b+=+」 n+1 1_ n+1 11 ゆえに bn+1-bn= n また b=- =2 11 よって, n22 のとき ムーム+ -2+(1-)- 令数列(ba+1-6} 列(b}の階差数理 b、=2 であるから,この式は n=1 のときにも成り立つ。 ゆえに b,=3- (n21) よって an=nbn=3n-1 n PRACTICE … 114®次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ し、(2)では bn=n(n+1) an を利用して求めよ。 (2) 類 (1) a=2, 3nan+1=(n+1)am n+2 an+1 n (2) a=2, an+1=

⑴は何が間違えてるかわかりません。 教えてください。

a=0, an+1=2an+(-1)"+1 (nz1) で定義される数列(a) が an+1-Da, +q"+) (カキ1, qキ1)型の漸化式の解き方には,次の2 125 2項間の漸化式(V) 0 ある。 =とおくとき, bn+1 をbnで表せ。 2" an (1) bn (2) bn を求めよ。 (3) an を求めよ。 nt) 精講 通りがあります。 2)とと I.両辺をか+1 でわり, 階差数列にもちこむ(124 ポイント) I. 両辺をq"+1 でわり, bn+1=rbn+s 型にもちこむ この問題ではIを要求していますから, にIによる解法を示しておま 「こたい ます。 解 答 an+1=2an+(-1)”+1 ① (1) のの両辺を2*+1 でわると, |①に, an=2"b,, n+1 an+1 an 1 an+」=2"+bn+1を ニ 27+1 2" 2 代入してもよい an -= bn とおくとき, 2" Cn+1= bn+1 と表せるので のより bn+1=Db,+(-) 1n+1 2 121 階差数列

⑵の解説の6行目あたりの式のことなんですけど、 n-1までの和を求めたかったら等比数列の和の公式に当てはめると、分子が2^n-2 -1になるのかと思うんですけど、なんでn-1なんですか？

-7(20 Jル I 13 6 因数でくくる (2) 与えられた数列の階差数列をとると、 1. 2, 4, 8,… となる。 と)) これは,初項1, 公比2の等比数列だから 次の数列の一般項と初項から第n項までの和を求めよ (1) 2, 3, 6, 11, 18, 27, (2) 2, 3, 5, 9, 17, 第n項は, 2"-1 とって,求める数列の一般項は, n22 のとき 1114 レー! - 2-1 精講 2+ 221=2+ 27-1-1 -=2"-1+1 k=1 2-1 |118 これは,n=1 のときも含む。 あれば、次のように考えて一般項を求めることができます。 吟味を忘れずに よって,初項から第n項までの和は a1, Q2, as, …, An-l, Qn n 2(2*-1+1)=22-1+21 b be bs … bォー1 (118 k=1 k=1 k=1 42=a;+b,, as=az+b:=a:+(b+ba), 2"-1 +n=2"+n-1 カー1 2-1 a,=a,+(b,+ba+…+ba-1)=a:+Zb。 (ただし, n>2) た=1 この式は,n22 のときに限り成りたつので, n=1 のときを別に調べないと のポイント an+1-an= bn と表せるとき いけません。 n-1 an=Qi+2be(n22) 解答 k=1 (1) 与えられた数列の階差数列をとると, 1, 3, 5, 7, 9, … となる. これは,初項1, 公差2の等差数列だから, 第n項は, 2n-1 120|||Iの考え方に従うと,次のようにしてポイントの公式を証 明できます。 参考 110 (証明) n22 のとき よって,求める数列の一般項は, n>2 のとき ポイント参照 n-1 n-1 2(ak+1-Q)= 2 b。 2+2(2k-1)=2+2ラカ(n-1)-(n-1) カー1 k=1 k=1 1117 k=1 n-1 (an-an-)+(an +(2-a)= Z b« =n°-2n+3 これは, n=1 のときも含む。 次に,初項から第n項までの和は k=1 n-1 n-1 吟味を忘れずに an-a=2 b。 よって, an=ai+Z« k=1 k=1 2(-2&+3)=E-2こk+23 k=1 k=1 k=1 k=1 演習問題 121 次の各数列の一般項と初項から第n項までの和を求めよ。 |117 ) (1) 1, 2, 6, 13, 23, (2) 1, 2,5, 14, 41,