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2曲線の交点を通る曲線の方程式(2)
まず,前ページの[1], [2] について考えてみたい。[1](ともに直線)の場合について
事項
p.127 で説明しているので, ここでは[2] (ともに円)の場合について、例題O の円
めよ。
円tyー2
-2kx
のをもとに考えてみたい。
解答のの:k(x2+y?-5)+x°+y?+4x-4y-130をx, yについて整理すると
計>0) 円と直線のス
円と直線の交
(&+1)x+4x+(R+1)y°-4y-5k-130
4x-4y+4=0 すなわち xーy+1=0
Peo2点の座標を
k=-1のとき
これは、x, yの1次方程式で,直線を表す。
2
2) 「kの値に大
よって、をに
kキー1のとき
4
x+
4
+1*+y-+1ソー
5k+1
=0
k+1
k=1
変形すると(+)+(yー-)= 5+6k+9
2
2
3
5k°+6k+9=5(k+
36
>0であるから,これは円を表す
D kを定数として
える。
(円x+y°=5 を除く)。
赤色または青色の曲身すs
各kの値に対する曲格。
また,直線や円以外でもが+g=0 の利用が有効な場合がある。
2つの放物線の交点を通る直線
f(x, y)=x°+y, g(x, y)=-x°+2x+y+2とすると
f(x, y)=0 は y=-x°, g(x, y)=0は y=x°-2x-2
となり,ともに放物線を表す。
kを定数として,方程式 kf(x, y)+g(x, y)=0
つまり,k(x°+y)-x°+2x+y+2=0を考えると,
k=1のとき 2x+2y+2=0 すなわち x+y+1=0
これは,2つの放物線f(x, y)=0, g(x, y)=0 の交点を通る直線の方程式を表す。
Oは、円と直終
固形を表す。
図形0が原点
よ=0, y=0を
ゆえに
g.j
0
fx,)=0
0に代入して
整理すると
これは円を表
参考 交点をもたない2つの円の場合についての考察
f(x, y)=x°+y?_9, g(x, y)=x"+y?-2.x とすると,
f(x, y)=0, g(x, y)=0は右の図のような2つの円を表す。
をを定数として,方程式 kf(x, y)+g(x, y)=0 を考えると, 人3
2 円の方程
九外
Fx,)=0
317
この等式が
x+2y
1
0,0か
9
k=-1のときx=-
Bが得られる。
ゆえに
2
しかし, 2つの円は交わらないから, Bは2つの円の交点を 予
通る直線ではない。
ここで,直線B は次のような意味をもつ。
f(x, y). g(x, y)に共通な数tを加えて(例えばt=-16)
F(x, y)=f(x, y)+t, g'(x, y)=g(x, y)+t
とすることで,交わる2円f(x, y)=0 … ©,
g(x, y)=0 … D が得られる。ここで, /を定数として,
方程式RF(x, y) +g(x, y)=0を考え, ピ=-1とすると
ーf(x, y)+g'(x, y)=-f(x, y)+g(x, y)=0
よって,B は2円 ©, ① の交点を通る直線の方程式を表す (右図参照)。
よって
0から
fx, )=0
ゆえに、
5
Sd交
-3 -1
練習
105
キャ
