Question

普

サクシードの赤線で囲ったところがわかりません。
k=±5√10を求めた後③よりと書いてあるのですが、わかりません。
教えてください。

O
*373 円 x°+y、=25 と直線 y=3x+k が共有点をもつとき,定数
kの値の範囲を求めよ。また, 接ずるとき,"定数kの値と接点の
座標を求めよ。
3

です
解 答編
したがって、求める円の方程式は
127
(xー10+(yー10)*=100
よって,接点の座標は
310
VIO
2
[21ー-510のとき
接点のx座標は,③から
6k3J10
2-10-
「接点の は、のから
372 方程式を変形すると
(*+2mx+mり+ly°-2(m-1)y+(m-1)引
=-5m+m+(第-1)? TE
すなわち
(エ+m)?+y-(m-1)}?=-3m-2m+1
この方程式が円を表すための必要十分条件は
-3m-2m+1>o
ソ=3- -5/T0 =
310
2
VIO
|2
よって,接点の座標は (3V10
VIO
(m+1(3m -1)<0
2
接点のx座標を求める際に, 2次方程式
よって
ゆえに
-1<mく
の
ax+bx+c=0の重解がx=ー
であること
2a
その
円の半径をrとすると
を利用した。
(別幅 y=3x+kから
円の中心(0, 0 と直線の距離をdとすると
ア=-3m?-2m +1=.
1 4
0
3xーy+k=0
①の範囲で, デはm=-;のとき最大値号
4
を
d=-
V3+(-1)-10
とる。
r>0であるから,このときrも最大となる。
また,円の半径は 5
(前半)円と直線が共有点をもつための必要十分条
2
よって,半径を最大にする mの値は
件は-d<5 すなわち
V10
m=
3
- A5
円
|4_2、3
V3
|S5、1O
-5/10 SkS5、10
(後半)円と直線が接するための必要十分条件は
なわちd=5 すなわち
考 半径の最大値は %=D23sの
よって
ゆえに
「x?+ y?=25 0 年
373
y=3x+k
………の
x?+(3x+k)?=25
-=5
V10
のをOに代入して
|=5VIO
[1] k=5V10 のとき
直線の方程式は
y=3x+5VTO
V の
よって
ゆえに k=±5、/10
10x+6kx+k?_25=0 …… ③
この2次方程式の判別式をDとすると
よって
y
D
デ=(3)?-10(k-25)= ーk?+250
(前半)円のと直線②が共有点をもつための必要
十分条件は
ハ-5 O
もx
円の中心(0, 0) を通
り,Oに垂直な直線
の方程式は
TTE
D20 すなわち -+25020
k?-250<0
よって
<-y=ーす
;x 6
-5/10SA<5/T0
(後半)円のと直線②が接するための必要十分条
D=0 すなわち -+250=0
k=±5V10
これを解いて
2直線の,6 の交点が、求める接点である。
件は
の, ⑤ を連立して解くと
VIO
310
x=ーー ソーー2
これを解いて
] k=5V10 のとき
接点のx座標は, ③ から
ヶ
VIO
2
310
よって,接点の座標は
6k
3V10
[2] k=-5/10 のとき
X=
2-10
検点のy産標は, ウ
ソ=3-(-310) +5/T0=-
2
[1]と同様にして、,接点の座標を求めると
V10
/3/10
VI0
2
2
2
2
数学Ⅱ

大角
をも た 7}u。
313,
x'+y'- 25
y- 32+k
P*直標と持する D-0aり -ド+ 250 - 0
の
2= ± 50
@を0代入して
+(3えtト)25
む+ 92+ 6kx +ドー25-0
10x°+ 6px + k'- 25-0 m
利別式Dり
D= 36k-4.10(12-25)
36k
-46+ 1000
3)
402+ 1000
D
4
ード+ 250
共角点をもつので b> 0
ほって、
ード+ 292 0
ードzー20
b's 250
-5卵<k= 5,0
%2+