Sる。。
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放物線と円の共有点,接点
3aとず
例題 101
34
0 と円 x*+(yー2)?=r?
2(r>0)がある。
放物線 y=x?
) 放物線と円が接するときのrの値を求めよ。
「X2) 4個の交点をもつようなrの値の範囲を求めよ。
指針 放物線と円の共有点についても,これまでと同様に次の方針で考えればよい。
を利用。
接線。
共有点→ 実数解
接点→ 重解
3章
必要があえ
ち針で承す。
同題では、xを消去したyの2次方程式 y+(y-2)?=r? の実数解を考える。
お放物線と円が接するとは,共有点において共通の接線をもつことで,本間では下の
図のように,2点で接する場合(接点のy座標は一致)と,1点で接する場合(接点は放物線
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の頂点)がある。
(1) 与えられた放物線と円が接するのは, 次の2つの場合である。
[1] 2点で接する場合
君の
このよ
=20
Tだes
0.2からxを消去すると y+(y-2)?=r?
A ただし yN0
X口
ゆえに y-3y+4-=0
.. キキ
24
をた.2が2点で接するのは, yの2次方程式Aが正
kdの重解をもつときである。④の判別式をDとすると
D=(-3)?-4(4-)3D4,ー7
0[2]
X
におき
V7.
7
D=0 から =
4
r>0 であるから
ア=ー
2
2.1-で、正の重解をもつ。2012でく分るるげど
-3_3
2
このとき,のの重解は y=-
しまう。本件が限てした
記く。
[2] 1点で接する場合
接点は原点 (0, 0) であるから, 円の半径は
V7
ア=2
2
論曲)
アニ
[1], [2] から,求めるrの値は
2
の
(2) 4個の共有点をもつのは,図から,円の半径rが
(1)の[1]の場合より大きく, [2] の場合より小さい ー N
24
3
る
ときである。
x
0
/7
<r<2
く
したがって
円 [S]
2
参考(2)は,yの2次方程式(④が異なる2つの正の実数解をもつ場合と考えて解くこともできる。
