数Ⅲの媒介変数表示で、tを消す計算をしてみたのですが、このやり方であっているかわからないのであってるかどうかお願いします。どこか計算がミスっていたら教えてほしいです。答えはないです。

1 次の媒介変数表示は,どのような曲線を表すか答えなさい。 (1) (x=t+2 { y = 2t² + 1 t=2-x y=2(2-オ)+1 212.x=y-1 (2-x) ³² (3-1) (x-2) ² (3-1). 答え:(19)↓(y-1)なので放物線 (2) { x = ² = 3² (x=3-2t 3-2 (-5-3) ly=t-5 t=-5-y x=3+10+2y x=13+2y -2y=-x+13 y = x - 13 2 2 答えなので楕円

数Ⅲ 媒介変数表示　　青チャ 下の写真の青マーカーのところがわかりません。 なぜ、どこからこの式が出てきたのでしょう？ あと、マーカー引き忘れて申し訳ないのですが、その下のxとyを0とそれぞれ置く理由も知りたいです 教えていただきたいです。よろしくお願いします

基本例題 74 媒介変数表示と最大・最小 x² 000 =1 (0<b<a) の第1象限の部分上にある点Pにおける楕円の法線 が,x軸,y軸と交わる点をそれぞれ Q R とする。 このとき, △OQR (Oは原点) の面積Sのとりうる値の範囲を求めよ。 [類 立命館大] 楕円 指針 点Pにおける法線は, 点Pを通り, 点Pにおける接線に垂直な直線である。 そこで まず 点Pの座標を媒介変数 0 で表し, 点Pにおける接線の方程式を求める。 また, 点Pは第1象限の点であるから, 媒介変数の値の範囲に注意して △OQRの面 積Sのとりうる値の範囲を考える。 解答 条件から,P(acos0, bsine) (0<< 2 ) と表される。 acos o bsino a² (bcos/)x+(asin0)y=ab 点Pにおける接線の方程式は すなわち ① に垂直な直線は, (asin)x- (bcos0)y=c (cは定数) と表される。(*) これが点Pを通るとき よって, 点Pにおける法線の方程式は x= c=asin0•acos o-bcos0・bsin 0 =(a²-62) sinocoso a²-6² a (asin0) x- (bcos0)y=(a²-b^)sin0coso ② において, y=0, x=0 とそれぞれおくことにより -cos 0, y=- *cos0>0, +x. ゆえにQ(a-b cose, 0), R (0, b cose, a²-b² b a²-b² b ここで, 0<b<α, sin> 0, cos0 >0 より a²-6² a 6² y=1 sin0 o), R(0, -a²-b² sine) b ****** S=1/1OQ･OR (a²-6²)² *sin 0 cos0= 2ab 0<0</1より、0<20<πであるから (a²-b²)² したがって 0<S≤ 4ab -sin0 <0であるから 1 a²-b² a²-b² b 2 a cos g (a²-b²)² Aab -sin0 -sin20 0 < sin20≦1 p.129 基本事項 [②] b Posinor 0 ◄b² <a² OR= RI - b P QVa (*) 2直線px+qy+r= 0, qx-py+y=0 は互いに垂 直である。 なお, 点 (x1,y) を通り, 直線 px+qy+r=0 に垂直 な直線の方程式は q(x-x)-p(y-y)=0 このことを用いて②を導 いてもよい。 <sin 0 cos0= acoso a²-b² sine b ぎ sin20 2 20= すなわち04 ときSは最大となる。 3 2章 1 媒介変数表示 10

数Ⅲ 青チャ　媒介変数表示 下の写真の問題です。 問題番号は(4)、 二枚目の青マーカー部分が理解できません。 何を言いたいのか、その意図、が知りたいです。 よろしくお願いします

基本例題 72 曲線の媒介変数表示 次の式で表される点P(x, y) は,どのような曲線を描くか。 x=coso x=3cos0+2 (1) (2) (3) { x=4sin0+1 (4) y=sin²0+1 [x=t+1 y=√t 指針 媒介変数または9を消去して、x,yのみの関係式を導く。 x=2'+2 y=2¹-2-t (1), (2), (4) 変数x,yの変域にも注意。 などのかくれた条件にも気をつける。 p.129 基本事項 [2] [一般角で表されたものについては, 三角関数の相互関係 sin²0+ cos²0=1 などを利用するとうまくいくことが多い。 ≥0, −1≤sin 0≤1, −1≤cos 0≤1, 2°>0 131 2章 10

x=a(1-t²)/1+t²を示したいのに私の計算ではx=-t²a/t²+1と出てきてしまいます。どこが間違っているか教えて欲しいです。

(1) a>0とする。点(-4, 0) を除く円x2+y2 = a²は媒介変数を用いて x= a(1-1²) 2at 1+12 1+t2 と表されることを,直線y=f(x+α)との交点を考えることにより示せ。 2²+ (tx+ tw)² = a ² x² + t²x² + 2 t²al + t²a²-a²=0 2² (t²¹+¹) + 2t²ax + a² (t²-1) = 0 2t²a t²-1 x2+ a² = 0 t²+1 x+ EX ^= - ta t²+1 y= (²+1 ← J = C (x+a) ₂ Fix 2 20.a ←再辺ビルで割る 2 ta 2 = (x + t^)² - (+a) ² + + a²-0 t t²+1 -? ←平方完成

解説お願いします🙇🏻‍♀️

13 曲線の媒介変数表示が次の式で与えられているとき,4をもの関数として表せ。 dx (1) x=t3-1,y=2t2 (2) x=t2+1,y=t-t2+1 (3) x=2cost, y=5sint

軌跡についての質問です。(教科書の問題です) s.tの値を①に代入すると点Pの軌跡が求まるのは何故ですか？

) 応用点Qが円x2+y²=4 上を動くとき,点A(4, 0) と点Qを結ぶ線 例題 5 分AQの中点Pの軌跡を求めよ。 2 考え方 P(x,y), Q(s, t) とする。 Qの満たす条件を表す stの式と, PとQ の座標の関係式から,x,yの方程式を導く。 解答 点P,Qの座標を,それぞれ (x,y), (s,t) とする。 Q は円x2+y2 = 4 上にある から s2+t2=4 ① S.tを また,Pは線分 AQの中点で消したい。 あるから t x=$+4, y = 1/ 9 2 2 X= YA Q(s,t) 2 s=2x-4,t=2y -2 0 -2 -P(x,y) 2 A 4x すなわち (2x-4)²+(2y)=4 これらを①に代入すると 整理すると (x-2)2+y2=12 よって, 点Pは円 (x-2)2+y^=12上にある。 逆に,この円上のすべての点P(x,y) は,条件を満たす。 したがって 求める軌跡は, 点 (2, 0) を中心とする半径1の円で ある｡ Imk. Ind 図形と方程式

数3 直線群と媒介変数表示 いきなり赤で囲ったところの式が登場していますが、何を求めたらこの式が出てくるのか分かりません。教えていただきたいです。

B 直線群と媒介変数表示 15 放物線y=4px を媒介変数を用いて表してみよう。 直線y=2pt を考える。 t の値が変化す るとき, これらの直線はx軸に平行な直線 群を表し、各直線y=2pt と放物線の交点 をP(x, y) とすると 20 x=pt2, y=2pt これは,放物線y=4px の媒介変数表示で ある｡ yA 2pt P(x,y) pt² 練習 上と同様に考えて、次の放物線を媒介変数t を用いて表せ。 25 (1) y2=4x (2) y2=-8x

この問題の(3)で、xもyもsinθとcosθがそれぞれ入っているので、２枚目の写真のように定義域を考える必要があると思ったのですが、答えには定義域については書かれていませんでした。 なぜこの問題では定義域について考える必要が無いのですか？

基本例題 72 曲線の媒介変数表示 ① 次の式で表される点P(x,y) は,どのような曲線を描くか。 malo の部分 COOR (3) x=t+1 ((1)) { x = (2)) のとりうる値の範 ly=√t EX 00000 の x=2++2-t y=2¹-2-t $1 p.129 2 x=cose lysin²0+1 ( ly=4sin0+1 x=3cos0+2 10,2 (4) 1

初歩的な質問ですいません この問題の(１)で、双曲線と直線の公転の座標をtで表すことが、何故双曲線を媒介変数表示したと言えるのですか？この直線はどんな直線、または曲線などでも良いのでしょうか？

変数表示 3700000 (1) 双曲線x-y2=1と直線y=-x+tとの交点を考えて, この双曲線を媒介変 数 tを用いて表せ。 (2) t を媒介変数とする。x=3 形を表すか。 J= 3 1+t2 指針(1) x,yをtで表すために、2つの方程式をx,yの連立方程式とみる。 3t 1+t2 ここで,交点が存在するためには, 双曲線の漸近線の1つが直線y=-x であることか ら直線y=-x+tでt=0 となることも必要。 (2) x= からtをxで表して, yの式に代入するのでは大変。 ここでは, =tx とみることがポイント。 =t• ...... 3 1+t2 解答 (1) x2-y2=1 ②を①に代入して整理すると 双曲線と直線の交点が存在するためには ゆえに t2+1 2t x=- ①, y=-x+t これを②に代入して Toat t2+1 2t ①. 1+t²⁹ y= y=- したがって x= 3 2) x=- 1+t ①を②に代入して y=tx y= 9 y=- 3t 1+t² これを①に代入して整理すると x=0であるから ③ に x=0を代入すると ...... t2+1 2t t²-1 2t 2tx=t2+1 x2+y²-3x=0 3t 1+t2 ② とする｡ +t= ...... で表された曲線はどのような図 ■p.134 基本事項 ① t=0(*) j t²-1 2t ・②とする。 ①より, x=0であるから t=2 (Onia(d+) x x(x2+y2-3x)=0 y=-x AY (x,y) ① (K,x)=TO (6-YA)=50 y 3-2 O 0 (*) 2tx=t2+1 で t=0 とす ると 0=1 となり,矛盾が生 じることから, t≠ 0 を導いて もよい｡ 3 N/W 32/2 y=x ---- (x,y) 135 IRO y=tx_ 3x y=0 3 9 よって,円(x-212) 2+y=1/27 の点(0, 0) を除いた部分。 例題(1)では、双曲線の番近線に平行な直線y=-xtf(t0) と双曲線は交点を1つだけも

X^2＋Y^2＝r^4 を　x^2＋y^2＝(r^2)^2 にする計算過程を教えて欲しいです。 (r ^2)^2にしなくてもいいですか？

100 基本例題 62 媒介変数の利用 (軌跡) 00000 一 定円 x2+y2=r2 の周上を点P(x,y) が動くとき, 座標が(x-y2, 2xy) で ある点Qはどんな曲線上を動くか。 p.94 基本事項 2. 基本 6C W TO SOLUT! CHART OLUTION 媒介変数の利用 #RORS30 3= 2次曲線上の点は媒介変数表示が有効 HAMSTIPAL a 円の媒介変数表示 x =rcose, y = rsine を利用する。 点Qの座標 (X,Y) も0で表してから, 媒介変数0を消去して X, Y の関係式を 導く。 lepa 解答 ①x2+y2=2 から x=rcose, y=rsin0 (0≦0<2π) と表さ|円の媒介変数表示。 れる。 Qの座標を(X,Y) とすると X=x²-y²=r²(cos²0—sin²0) = - JUSS =r² cos 20 edit I=(1+ Y=2xy=2rcos 0·rsing) ** [=³(+1 =r2sin20 -X=0 cos A, よって X2+Y2=r*(cos220+ sin²20)=r, 0≦20<4π ゆえに,点Qは円x2+y2 = (r-2)2の周上を動く。 別解 Qの座標を(X,Y) とすると X=x2-y2, Y=2xy X2+Y2=(x2-y2)2+(2xy)²=x+2xy+y^ =(x2+y2)2=(n2)2 ²4 net 30 よって,点Qは円x2+y2=(m2) 2 の周上を動く。 - 1+1 Y=□sin △の形→ sin²+ cos²^=10) } (-x) x-50185 1+x $64 17x 所用。