Question

みさ

軌跡についての質問です。(教科書の問題です)
s.tの値を①に代入すると点Pの軌跡が求まるのは何故ですか？

)
応用点Qが円x2+y²=4 上を動くとき,点A(4, 0) と点Qを結ぶ線
例題
5
分AQの中点Pの軌跡を求めよ。
2
考え方 P(x,y), Q(s, t) とする。 Qの満たす条件を表す stの式と, PとQ
の座標の関係式から,x,yの方程式を導く。
解答 点P,Qの座標を,それぞれ (x,y), (s,t) とする。
Q は円x2+y2 = 4 上にある
から
s2+t2=4
①
S.tを
また,Pは線分 AQの中点で消したい。
あるから
t
x=$+4, y = 1/
9
2
2
X=
YA
Q(s,t) 2
s=2x-4,t=2y
-2
0
-2
-P(x,y)
2
A
4x
すなわち
(2x-4)²+(2y)=4
これらを①に代入すると
整理すると
(x-2)2+y2=12
よって, 点Pは円 (x-2)2+y^=12上にある。
逆に,この円上のすべての点P(x,y) は,条件を満たす。
したがって 求める軌跡は, 点 (2, 0) を中心とする半径1の円で
ある｡
Imk. Ind
図形と方程式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

TAA

・s^2+t^2=1
・x=(s+4)/2 ・y=t/2

この3つの式が立てられた時点で、既に点Pの軌跡は実は求まっているんですよ。

なぜなら、問題文で指定された条件を全て満たしているので。

ただ、これだと直感的にどんな形かがわかりにくいから、3つの式からsとtを消去して、「xとyだけの式」にすれば

・(x-2)^2+y^2=1^2

となって、(2,0)中心の半径1の円であると、とても分かりやすい形になるわけですね。

軌跡の問題では

「求める軌跡を(x,y)とおく」→「媒介変数表示を使って条件を整理」→「xとyのみで表す」

が王道なので覚えておくといいでしょう。

Answer 2

mi-

なかなか説明が難しいですね笑うまく説明できなかったらすみません。
まずsというのはQのx座標、tはy座標というのはよいとおもいます。
ここで、Pの座標を(x,y)とおき、点AとQの中点であるという式を立式することによりQとPの二つがからんだ式ができます。あとは元々Qの満たす円の方程式に代入ですね。
別の理解の仕方としては具体的な値を代入してみるというのはどうでしょう？
グラフの根本として点の集合というものが図形としてあらわれているので…
疑問点があれば回答するので質問して下さい。