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重要 例題 70 3点を通る平面上の点
点
3点A(1,-1,0), B(3, 1, 2), C (3, 3, 0) の定める平面をαとする。」
が満たす関係式を求めよ。
P(x,y,z)がα上にあるとき, x,y,z
CHART O COLUTION
3点A,B,Cが定める平面上にある点P(x,y,z)TO
1 点A(a)を通り
ONLAB であるから
を満たす
2 OP=sOA+tOB+uOC,s+t+u=1
平面αに垂直なベクトル(法線ベクトル)はAB, LACから求められる。
このに対し、 0 から x,y,zの関係式を求める ( 1 の方針)。
AP=
別解は2の方針。 s, t, u をx, y, zで表し, s+t+u=1に代入する。
解答
平面αの法線ベクトルを n = (a,b,c) (n=0 とする。
ここで
AB=(2, 2, 2), AC=(2, 4, 0)
n.AB=0
よって
NAC であるから
ゆえに 2a+46=0
②から
a=-2b
よって
n=b(-2, 1, 1)
n=0 であるから,b=1 としてn=(-2, 1, 1)
点Pは平面上にあるから
n•AP=0
AP=(x-1, y-(-1), ²-0)=(x-1,y+1, z) であるから
-2x(x-1)+1×(y+1)+1×z = 0
2a+26+2c=0
に垂直n(n-d=000万
n• AC=0
......
PRACTIC
これと①から
→
したがって
2x-y-z-3=0
別解原点を0とする。 点Pは平面上にあるから, s, t, u を
実数として
OP=sOA+tOB+uOC, s+t+u=1 と表される。
よって (x,y,z)=s(1,-1,0)+t(3,1,2)+u(3,30)
ゆえに
s, t,uについて解くと s = x-y-z
s+t+u=1 に代入して整理すると
2
c=b
=(s+3t+3u, -s+t+3u, 2t)
z=2t
x=s+3t+3u,y=-s+t+3u,
"
t = ³/2²
p.438 基本事項 4,基本 60
u=
x+y-2z
6
2x-y-z-3=0
← 1 の方針。
nを成分表示する。
n
A
inf. 一般に,平面に垂直
な直線をその平面の法線
といい、平面に垂直なベク
トルをその平面の法線ベ
クトルという。
(*) において、万キロであ
れば,b はどの値でもよい。
一般に,1つの平面の法線
ベクトルは無数にある。
←x,y,
3, zの関係式を求め
たいから, s.tuを
y, zで表し,
s+t+u=1 に代入する。
