510
2 平面の交線, それを含む平面の方程式
①, B:3x+4y-3z+12=0
演習 例題 84
2 平面 α: 3x-2y+6z-6=0 ......
l とする。
(1) 交線の方程式をメーズリーリス-2の形で表せ。
m
n
(2) 交線lを含み, 点P(1, -9, 2) を通る平面の方程式を求めよ。
解答
2(y+3)
よって
3
ゆえにz=-x
2(y+3)
x=y+3
よって, -x=
= から
3
2
3
2
(2) 交線l上に2点A(0, -3, 0), B(-2, 0, 2) があるから,
yは3点A,B,Pを通る平面である。(1)(L)+
平面yの法線ベクトルを n = (a,b,c) (n=①) とする。-) +
AB=(-2,3,2), AP = (1, -6, 2) であるから,
AB より
n AB=0
よって
NAPより
n·AP=0
よって
(1) ②① から 6y-9z+18=0
①×2+② から 9x+9z=0
練習
084
指針 (1) 2 平面 α, β が交わるとき, αと β の共有点全体は1つの直線になる。 この直線を2
平面α,ßの 交線 といい,その方程式は x,y,zのうち2つを残り1つの文字で表す
ことで導かれる。この例題では, ①, ② から x を消去してz=(yの式), y を消去して
z=(xの式) が得られ, (xの式) = (yの式)=z を導いている。
(2) 平面は3点で定まる。 平面yは、 交線l上の2点と点Pを通る。
③ ④ から a=3b, c=-
3
20
z=
2006
-2a+36+2c=0
a-66+2c=0
b
ゆえに n=2(6, 2,
000
②の交線を
2-21
・3/
よって
演習 79
ZA22
B
α
x 2
94
v=0-2 m (s)
より, b=0であるから = 6,2,3)とする。
よって,平面yは点A(0, -3, 0) を通り, n = (6,2,3) に垂直であるから,その方程
式は 6x+2(y+3)+3z=0 5 6x+2y+32+6=0 DAYS**
(3)
4 0812,020
[参考 2 平面α: 3x-2y+6z-6=0, β:3x+4y-3z+12=0 の交線を含む平面の方程式 (ただし,
A で表され
平面αを除く) は, kを定数として,k(3x-2y+6z-6)+3x+4y-3z+12=0
る。このことを利用して, (2) を解くと、次のようになる。
27k-27=0
A にx=1, y=-9, z=2 を代入すると
これをAに代入して 6x+2y+3z+6=0
$49
k=1
2平面α:x-2y+z+1=0….. ①, B:3x-2y+7z-1=0… ② の交線をl とする
20
x-x1
y-yi
(1) 交線l の方程式を 1
の形で表せ。
m
n
(2) 交線l を含み, 点P(1,2,-1) を通る平面の方程式を求めよ。
なるほど！ありがとうございます！