第6章 積分法の応用 85 O
例題22x=t, y=2t-t2 (0≦t≦2) で表される曲線とx軸で囲まれた部分
の面積Sを求めよ。
指針 媒介変数を消去して y=F(x)の形に表すこともできるが,計算は面倒になる。そ
こで x=f(t),y=g(t) のまま、面積Sを置換積分法で求める。
解答 x=12より dx=2tdt
xtの対応は右のようになる。
x
0 → 4
0≦x≦2 のとき, y≧0 であ
るから
t
→ 2
S=Soydx=S (2t-1) 2tdt
-S(4t²-2t³) dt
=
31
0 1
参考例題の曲線の概形は次のようにしてかくことができる。
dx=2t, dy=2-21
dt
0<t<2 のとき, />0であるから,xは tに対して単調に増加する。
tとxの対応は右のようになる。
また
dy_2-2t_1-t
t
0→2
x
0 → 4
dx
2t
よって,
dy
-= 0 とすると t=1
dx
t
0
1
このとき x=1
x
20
1
したがって、yのtについての増減表は右のよう
dy
+
0
になる。
dx
また
d'y
ddy dt
y
0
0
=
dx2 dt dx) dx
d/1
=
dt
2t
213
したがって, 0<t<2 のとき
d²y
<0
dxe
0
ゆえに、曲線は上に凸であり、概形は上の図のようになる。
