練習 2の累乗を分母とする既約分数を,次のように並べた数列
113
1
5
3
7 1 3 5
9112
2
4'4'8
8'8'
8' 16
16'16'
について,第1項から第100項までの和を求めよ。
分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。
11 31 3 5 7 1 3 5
15 | 1
9
9
9
4 8 8 8 816'16'16'
1632
9
1+2+22+‥+2^-1=
第k群には 2k-1 個の項があるから,第1群から第n群までの
Tes
項の総数は
第100項が第n群の項であるとすると
2−1−1 <100≦2-1...... ①
2n
数列|2-1
2-1
2012-2+ 12/17
k=1
=
2"-1-1は単調に増加し, 261=63, 27-1=127 であるから,
① を満たす自然数nは
n=7
第6群の末項が第63項となるから
100-63=37
したがって,第100項は第7群の第 37 項である。
ここで,第n群の項の和は
{1+3+・ ･+(2″-1)}=
1
2
1
1 26-1
2 2-1 128
=27-2
更に,各群の番目の項の分子は 2k-1 である。
よって 求める和は 1)(2n-1)+3n(n-1)-3 (n-1))
J416315
9
.63+
(+
=2-1 土目番
15
2
11
●
1369
128
9
15
16'32'
20
-・2"-1{1+(2-1)}
2 21
Cd to I-
5401 0)
128
+ • 37² 1 + x) = { == n + (1 + r) n {\
...
*)26-1=63
RAZANT+x
Jos You ☺ (
1 (ny)
tim (0)
[類 岩手大]
HOTE
2,項数n
←初項1,公比
の等比数列の和。
{1+3+..+(2・37-1)}(1+2)+(1+ ← 227-2=2 1/1・2*-
224-²=
•2k-1
Od
←26-1-63 (0)
k=1
警察
IND
は第n群の分子の
和で,初項1, 末項 2" - 1,
項数 27-1 の等差数列の和。
←1+(k-1)・2=2k-1
=x+(1+5)=<1+3+5+.....
+(2n-1)=n²
