なぜまるで囲った式変形になるんですか？

(2) AABC において, BC=6, CA=5, AB=7 とし, ZAの二等分線と辺 OOO00 基本例題 (1) AABC において, ZAの二等分線が辺 BCと交わる点をDとする BD:DC=AB :AC が成り立つことを証明せよ。 (2) AABC において, BC=6, CA=5, AB=7 とし, ZAの二等分線上、 BC の交点をDとする。線分 AD の長さを求めよ。=8 125 三角形の内角の二等分線の長さ (1) | でさのま |基本117,118 基本130 本1041211 CHARTOSOLUTION 三角形の内角の二等分線の長さ 1 余弦定理の利用 三角形の内角の二等分線については, (1)のような性質がある。 これを利用して、, (2) では余弦定理を使って ADの長さを求める。 2面積の利用は,後で学習する(か.200基本例題 130参照)。 写RAH 2 面積の利用UIO A 解答 別解(1) (1) ZA=20,ZADB=α とすると,△ABD と△ACD において, 正弦定理により A E BD AB 010\180°-a A ニ sin0 sing' a 圧 ド DC AC B D C ニ sin0 sin(180°-α) B 図において,AD//EC と すると,ZAEC=ZBAD |=ZCAD=ZACE から DC sin(180°-α)=sina であるから, これらを変形すると sin0 sina -AB, DC= sing sina BD= -AC よって BD:DC=AB:AC AE=AC 45) ま 台は 「0

(2)の説明が分かりません、どうしてこれで証明が出来るんですか？

亜例題 直接証明しにくい問題は間接証明法で ピ=° に関する証明問題 nが3の倍数でないとき, nは整数んを用いて がともに3の倍数でないと仮定して, 矛盾を導く。 nが3の倍数でないとき, n'を3で割った余りを求めよ。 その際,(1)の結果を利用するために, 両辺をそれぞれ3で割ったときの余りにつ 特に,(2)のような「少なくとも1つ」の証明には間接証明法が有効である。 a, b は整数とする。 6, C, n a bのうち少なくとも1つは3の倍数であること を証明せよ。 SOLUTION CHART 対偶を証明する 2 背理法を利用する 基本 113 いて考える。 解答) n 3k+1 または 3k+2 別解(1) nが3 の倍 ないとき, kを整数 と表される。 ] n=3k+1 のとき パ=(3k+1)?=9k"+6k+1=3(3k°+2k)+1 てn=3k±1 と表さ このとき n=(3k±1) =3(3土2k)+1 [2] n=3k+2 のとき パ=(3k+2)?=9k?+12k+4=3(3k?+4k+1)+1 よって, n° を3で割った余りは1である。 ) a, bがともに3の倍数でないと仮定する。 このとき,(1) により,α", b° を3で割った余りはともに1で あるから, a°+6° を3で割った余りは 1+1=2 である。 (複) よって, nを3で 余りは1である。 *和の余りの性質 0 (b.407 参照) 一方, cが3の倍数のとき, c?も3の倍数であり, cが3の倍数でないとき, c'を3で割ると1余る。 よって, c?を3で割った余りは0または1である。 0,2は a'+b=c? であることに矛盾する。 ゆえに, a°+6°=c? ならば、a, bのうち少なくとも1つは 3の倍数である。 合ら+8とでに た余りが同じ とに矛盾。 S-

ここを正弦定理で解こうとしたら答えが2つ出てくるんですけどどうしたらいいんですかね？

基本例題 118 余弦定理の利用 渋三 L〇O000 △ABC において,次のものを求めよ。 (1) 6=/6 -V2,c=2/3, A=45° のとき aとC (2) a=2, b=/6, B=60° のとき C b.180 基本事項2 CHARTO SOLUTION 余弦定理 a=6+c°-26ccos A 6°+c°-α など coS A = 0 26c ロ 0 三角形の2辺の長さとその間の角の大きさが与え られたとき 2 三角形の3辺の長さが与えられたとき 余弦定理を用いて, 残りの辺の長さや角の大きさを求めることができる。 (2) Cがわからないから c=a+ー2abcosC は使えない。 6, Bに着目して 6°=c°+a°-2cacos B を使うと,cの2次方程式が得られる。 c>0 に注意。 ●2-○+口-2O□cos0 4 解答 (1) 余弦定理により a°=(/6-/2)?+(2/3)?-2(V6-/2)·2/3 cos45° =8-4/3 +12-12+4/3 =8 a>0 であるから *a=°+c°-26ccos A 50% V6-2D C a a=2/2 245° A 2,3 a°+6°-c 2ab B また COs C= T cos C= 2-2/2 (/6-/2) 8+8-4/3-12 8/3-8 どちらの定 8(/3-1) 2 V6 よって C=120° 60% B A4 C (2) 余弦定理により (/6)=c°+2°-2c·2cos60° ←6=c+a°-2cacos1B 1 よって 6=c°+4-4c… 2 整理して c-2c-2=0 C=1±/3 c=1+/3 と欠 これを解いて c>0 であるから 合解の公式から c=-(-1) 土(-1)°-1-(-2) PRACTICE…118® △ABCにおいて, 次のものを求めよ。 テと思じ (1) c=3, a=4, B=120° のとき =V21, 6=4, c=5 のとき A (3) 6=V2, c==3, C=45° のとき 10 a

最後の答えの仕方なんですけど、P≧0、P≦6が答えじゃないんですか？

テの0 すなわち かS0 のときの募効さtは(ー1-。 0のとき, x+322 px? が常に成り立つような定数pの値の範囲を求め ーDx+32 とすると f'(x)=3x?-2px=3x{x- (x)=x°ーx°+32 として, [x>0 における f(x)の最小値]20 となる条件を 火を 88 295 (類慶応大) |基本 196 SOLUTION MOITO ART gめの-2px=3x(x-すりとなり、 ダ(x)%=D0 とすると x=0, 2, 求める。 となり,f'(x)=0 とすると x=0, 2のの大小により,最小個をとるxの値が異なるから場合分け。 O rl)=3"-20x=3(=-}) 2 -0 とすると nON x=0, 36 かく0 2,<0 すなわち pS0 のとき らは-1 カ=0 に 20において,常に f'(x)20 が成り立つ。 よって, x20 の範囲でf(x) は常に増加する。 また f(0)=32>0 ゆえに, x20 のとき常に f(x)20 が成り立つ。 2 3p0* 10 x したxについて xN0 における f(x) の 最小値はf(0) ケ | 0く すなわち カ>0のとき otes 20における f(x)の増減表は右 2 0 30 x x 2 のようになり,f(x)は x=今pで 0 2 3 f(x) 32 極小,かつ最小となる。 f(x) 極小 *x20 におけるf(x) の その他はリーー番が+32 最小値は「の) よって,x20 において常に f(x)>0 となるための条件は ワァが+3220 よって がー8-27<0 大森 が-6°<0 0) ゆえに 00 がS6° >0 であるから 0<pS6 りるかの値の範囲は、[11. [2] から 6 る )=e す の護実るさ具 本の 0S>ョ>『-

この答えは、0＜A＜3/2のときと、2/3≦Aで場合分けしたらバツですか？

この問題では最小値の候補となる極小値をとるxの値 (本間では x=2a) がaの 基本例題 189 文 値によって変わるから, それが区間 0Sx%3 に含まれるかどうかをaの値によ 関数 F(x)=x°ー3ax"+5a° の 0<x<3 における最小値を求めよ。ただし、 000 【類関西大) 基本 185 本休 a>0 とする。 CHART OSOLUTION 最大·最小 って場合分けする。 解答 f(x)=3x°-6ax=3x(x-2a) f(x)=0 とすると a>0 であるから F(x)の増減表は次のようになる。 f(2a) =(2a}-3a(2a}+5 =8°-12c+5d x=0, 2a 2a>0 [1] 極小値をとるま が区間に含まれる場 [2] 極小値をとるx が区間に含まれない 2a 0 x 0 0 f(x) 極小 f(x) 極大 5a° 3 のとき 『[] 0<2a<3 すなわち 0<aニ 5a° リ=f(x) のグラフは右図[1] のようになる。 よって, 0SxS3 において, f(x)は x=2a で 最小値 f(2a)=a をとる。 a 3 2] 3<2a すなわち <a のとき 0 2 y=f(x) のグラフは右図 [2] のようになる。 よって, 0Sx<3 において, f(x)は x=3 で 最小値 f(3)=5a-27a+27 [1], [2] から ハ5 (O [2] y をとる。 5a-27a+27 15a° 0<as;のとき x=2a で最小値α", 3 3 くa のとき x=3 で最小値5a°-27a+27 2 0 をとる。 オ=0 K

解説がわかりません。 どうして5×5と2×2なのでしょうか？

…, 36 の場合と考えるのは大変。そこで, 基本例題 8(全体)- (~でない)の考えの利用 大小2個のさいころを投げるとき (1)目の積が偶数になる場合は何通りあるか。 (2) 目の積が4の倍数になる場合は何通りあるか。 p.240 基本事項も。 CHART OSOLUTION 場合の数の求め方 正確に, 効率よく (A である)=(全体)-(A でない)の活用 (1)(全体)-(目の積が奇数)と考えた方が計算量が少ない。 (2) 目の積が4の場合, 8の場合, 次の2つの場合に分ける。 [1] 2つの目のうち少なくとも1つが4の目の場合 [2] 2つの目がともに4以外の偶数の場合 解答 (1) 積が奇数になる場合は, 2つの目がともに奇数のときで (1) 直接求めると, 目の が偶数になる場合は [1] 2つとも偶数 3×3=9(通り) 2つの目の出方の全体は 6×6=36(通り)であるから,目の 積が偶数になる場合は [2] 大小の順に 偶数と奇数または 36-9=27(通り) 奇数と偶数 (2) 目の積が4の倍数になるのは, 次の [1], [2] の場合がある。 [1] 2つの目のうち少なくとも1つが4の目の場合 2つの目がともに4以外の目の場合は 5×5=25(通り)で あるから [2] 2つの目がともに4以外の偶数の場合 [1]から 3×3=9 [2] から 3×3+3x3=8 よって 9+18=27(通り) 36-25=11 (通り) 小 1 大 2|3|456 2×23D4(通り) 2|3|4|56 1 1 [1], [2] から, 求める場合の数は 2 2|416|8|10| 12| 11+4=15(通り) 3 3|6|9|12|15| 18 別解 目の積が4の倍数でない場合は [1] 2つの目がともに奇数 [2] 大,小のさいころの目が順に 4以外の偶数,奇数; または奇数,4以外の偶数 のときであるから,求める場合の数は 36-(3×3+2×3+3×2)=15 (通り) 4 4|8|12|16|20 24 5 510|15|20|25 6 6 |1218|24|30 [1]の場合 [2] の場合… (全体)から(4の倍 ない場合)を引く。 6a2 る

この問題は2枚目のような解き方ではいけないのでしょうか。答えは一致してます。下のpractice問題も同じような方法で解くと、答えが一致しました。もしいけないとしたらなぜいけないのか教えていただきたいです。

129 {O0 重要例題 83 折れ線の長さの最小 らの (a, b) A(2, 5), B(9, 0) とするとき, 直線 x+y=5 上に点Pをとり,AP+PB を 最小にする点Pの座標を求めよ。 [日本獣畜大) 「基本79 CHART OSOLUTION 導く。 IOITOIO 折れ線の問題には 線対称移動 直線 :x+y==5 に関して2点 A, Bが同じ側にあるから考えにくい。 そこで,直線に関してAと対称な点A'をとると す。… AP+PB=A'P+PB>A'B 等号が成り立つのは,3点A', P, Bが一直線上にあるときである。…… ゆえに,直線と直線 A'B の交点が求める点Pである。 うる 31 解答) 字を含ま 使用する。 2点A, Bは直線lに関して同じ側にある。 直線2:x+y=5 や直線2に関して点Pと 点Qが対称→ 0 に 関してAと対称な点をA'(a, b) 点で [1] PQL [2] 線分 PQの中点が 直線2上にある A 集0,0 とする。 上にも AA'1l から Po 直線上 「には、 上にも を示 よって 線分 AA'の中点が直線上にあ や直線 AA'はx軸に垂直 ではないからaキ2 垂直→傾きの積が -1 B (-1)=-1 6-5 0 2 9 x a-2 a-b=-3 2 e 動小 ー 8 5+6 =5 2 2+a は直 るから にあ 2 よって a+b=3 ゆえに A'(0, 3) 2, 3 を解いて =0 このとき a=0, b=3 や線分 AA'の垂直二等分 線上の点は,2点A, A' から等距離にある。 AP+PB=A'P+PB>A'B 『よって,3点A', P, Bが一直線上にあるとき, AP+PB は最 小になる*。 よって AP=A'P 直線 A'Bの方程式は +=1 すなわち x+3y=9 …④ 3 *2点A', B間の最短経 路は,2点を結ぶ線分 A'Bである。 x 9 直線 A'Bと直線2の交点を Poとすると,その座標は x=3, y=2 の, のを解いて ゆえに P。(3, 2) 小 (3, 2) したがって, AP+PB を最小にする点Pの座標は の 5 5y3

二次関数の問題です。線が引いてあるところの意味が分かりません。教えてください。

放物線 y=2x+3x+6 ……… ① は, 放物線 y=2x°-4x+1 ② をどの ように平行移動したものか。 Ib.83 基本事項 5, 基本 48,49 基本 52 CHART SOLUTION グラフの平行移動 頂点の移動に着目 「は」。 のは移動後,2は移動前の放物線である。 0, 2 はx° の係数がともに2で一致しているから,平行移動によって2つの放 物線を重ねることができる。 よって,それぞれの頂点の座標を調べる。① の頂点「は」, ② の頂点「を」どのよ うに移動した点であるかを考えればよい。 「を」などの「てにをは」に注意

どうして違う三角形同士なのにイコールで繋げることができるのでしょうか？

100m 離れた2地点 A, Bから川を隔てた対岸の2地点 P, Qを計測したところ, 図のような値が得られた。 (1) A, P間の距離を求めよ。ちい (2) P, Q間の距離を求めよ。 基本例退 P。 へ who 75% 45° A 60 100m B |基本 104,117, 118 基本124 CHART OSOLUTION SoLt 距離や方角(線分や角) 三角形の辺や角としてとらえる (1) △ABP において ZAPB=45° から, 正弦定理を用いて求める。 ! (2) △ABQは直角二等辺三角形であるから AQ=100/2 (m) そこで,△APQに余弦定理を用いて求める。…… 解答 (1) △ABP において ZAPB=180°ー(/PAB+/PRA)=にo AP 100 大景却 AL sin 45° *ZAPB k =180°-(75°+60°) 目=45° 正弦定理により 三 sin60° 100 'sin60°=50V6 (m) sin45° 1003 -50- AP=- よって AP= ー=50- 12 (2) △ABQは, ZAQB=45° であるから, 直角二等辺三角形。↑ トAQB くの =180°-(90°+45°) 72 よって AQ=100/2(m) △APQにおいて =150 ZPAQ=RAD

この2つの問題の線を引いてある部分なのですがなぜさいころは順番を考えた通りを出すのにカードは順番を考えないんですか？例えば33では(1.1.3)と(1.3.1)は別なのに38は(1.2)はありますが(2.1)はないです。教えてください🙏🏻

確率 根元事象に分けて, Nとaを求める Nの計算 目の出方は, (1) は6°通り,(2)は6° 通り(重複順列)。 2) 3個のさいころを同時に投げるとき, 目の和が5になる確率 次の確率を求めよ。 個のさいころを同時に投げるとき,目の和が素数になる確率 287 SOLUTION p.284 基本事項2 CHART a N さいころはすべて区別して考える。 2章 約数が1とその数自身だけである自然数(1は素数でない)。 (1) 素数 七下のような 表を作り,目の和が素数となる出方の総数を調べるとよい。 p) 3個のさいころの目の数をx, y, z とするとき, x+y+z=5 となる組 (x, y, 2) が何通りあるのかを求める。 解答 2個のさいころを同時に投げるときの目の出方の総数は 6°=36(通り) 和1|2|3|456 1|2|3|4|56|7 2|3|4|5|6|78 日の和が素数 2, 3, 5, 7, 11 になる場合は, それぞれ 1,2, 4, 6, 2通りあり, 合計して 1+2+4+6+2=15 (通り) 3|4|5|6|78|9 4|56|7|8910| 5|6|7|8|9|1011 15 5 6|7|8 よって,求める確率は で合 36 12 例えば,(1, 2) と(2, 1) は 別の出方とみる。 2 3個のさいころを同時に投げるときの目の出方の総数は 2取り出す 6°通り 3個のさいころの目の数を, x, y, zとする。 x+y+z=5 となる組 (x, y, z)は, 以下の6通りである。 inf. (2) 1個のさいころ を3回投げるときの確率と して考えても同じこと。 6 1 a よって, 求める確率は N 6° 36 PaACTICE… 33° 次の確率を求めよ。 2個のさいころを同時に投げるとき, 目の和が10以上になる確率 ロが10になる確率 確率の基本性質 |の