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例題 18
割り算と恒等式
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OL **
整式 x*+x°+6 が整式 x°+ax+1 で割り切れるような定数 a, bの値
を求めよ。
第1章
(津田塾大)
考え方 割り算の基本公式 A=BQ+R は,恒等式であることを利用する。
x*+x°+b の最高次の項に着目して,商を x?+cx+d とおくと計算が簡単になる。
NG
解答
商を x°+cx+d とおくと,条件より,
x*+x°+b=(x+ax+1)(x°+cx+d) ①
のの右辺を整理すると,
x*+(a+c)x°+(ac+d+1)x°+(ad+c)x+d
したがって,①は,
x*+x°+6
最高次の項に着目し
D
て,商をx°+cx+d
とおく。
A=BQ+R で,
割り切れるから,
R=0
=x*+(a+c)x+(ac+d+1)x°2+(ad+c)x+d
これはxについての恒等式なので, 両辺の係数を比較す
ると,
係数比較法
atc=0
2
ac+d+1=1
3
ad+c=0
b=d……)
2より,
のに代入すると,
より,
C=-a
ad-a=0
a(d-1)=0
a=0 または d=1
(i) a=0 のとき,②より,
3, 6より,
(i) d=1 のとき,③より,
2, 3より,
また,5より,
よって,(i), (i)より,求める値は,
c=0
b=d=0
…3
ac=-1
a=±1, c=干1(複号同順)
a(-a)=-1 より,
a=1
6=d=1
(別解)整式 x*+x°+b を整式 x°+ax+1
で割ったときの余りは,
a(1-a)x+(b-a')
これが0になるので,
a(1-a)=0, b-α=0
これを解いて,
x-ax +a°
x°+ax+1)x*
+ x
x*+ax°+ x*
-ax
-ax-d'x-
a'x°+ ax+b
+b
+b
a'x+α'x+α°
a(1-a)x+(b-a)
