3 数直線と命題
(1) zを実数aを整数として, 集合P, Q, R をそれぞれ
P={x\/x-1³/≥3}, Q={x\x²+18x+79≥0}, R=
2
である.
とするとき,P∩QCR を満たすαの最小の値は
(2) 命題「3<x<4ならば, 2a<x<3a である」 が真となる定数aの値の範囲は｢
la/>
実数の集合は、 数直線上で考えよう
や共通部分, 和集合, 補集合などが視覚的に考えられるようになり, 分かり易くなる.
例えば,
の集合A={x|3<x<4},B={x|2<x<5} について, ACBが成立する ・ 成
不等式の命題は、 数直線上の区間どうしの関係からとらえる
「3<x<4ならば, 2<x<5である｣ という命題の真偽は、 数直線上で,2つ
7
Pは 「x≦または
いまは、 右図により, この命題は真である. このように, 不等式で表された命題については, 数直線上
立しないと一致する. つまり, 区間3<x<4が区間2<x<5の中に含まれる ・ 含まれないに一致する
の区間の包含関係によって視覚的にとらえることができる.
含まれる条件は,
19
2
解 答
(1) 212223のとき
x+18r+79≧0のとき,x≦-9-√2 または-9+√2≦x
α=-9-√2,β=-9+√2 とおくと,
19
たはHS」
2
Qは 「x≦a またはB≦x」
であり, 数直線上に図示すると図1のようになる.
POQは図1の網目部であるから, POQ は図2
の網目部である。これがR: 「2012」に
a
に注意すると,
13
2
2a≦3 かつ 4≦3a
3
... ≦a≦
実数の集合を数直線上に図示すれば,集合どうしの包含開
≦-3または3≦xl
-2 sa
13
2
よって、a≧2×10.41･･･=20.8･･･ だから, 答えは α=21
(2) 3 <x<4ならば, 2a <x<3aとなる α の条件は,
右図により,
R={x||2|={}
図1
-Q
a B
2a
a≥-2a=2(9+√2)
7
minin
図2
B 2
0
R
a
-P
19
07
2 2
19
3 4
2
X
2 3 4
3a x
整理すると,コー
|a|=9+√2<10>
等号がつく、つか
