重要 例題127/2次方程式の解と数の大小 (3)
|方程式x°+(2-a)x+4-2a=0が-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解
197
をもつような定数aの値の範囲を求めよ。
指針> [A] -1<x<1の範囲に, 2つの解をもつ(重解を含む)
基本 125,126
「B] -1<x<1の範囲に, ただ1つの解をもつ
トろな場合が考えられる。 [B] の場合は, 解答の [2]~ [4] のように分けて考える。
例題125, 126同様, D, 軸, f(k) が注目点である。
解答
判別式をDとし, f(x)=x°+(2-a)x+4-2aとする。
f(-1)=-a+3, f(1)=-3a+7
軸
31
[1] 2つの解がともに-1<x<1の範囲にあるための条件は
[ D=(2-a)°-4·1·(4-2a)20
1
D=0
の
2
D>0
2-a
軸x=ー2
2-a
<1
2
について
1
x
lf(-1)=-a+3>0
a+4a-1220
3 f(1)=-3a+7>0
4)
よって
(a-2)(a+6)20
2~のを解くと, 解は順に
のから
ゆえに aミ-6, 2<a
5
6, a<3
の, aく
3
0<a<4
7
の~8の共通範囲は' 2<a<
3
7
[3] a=3
[4] a=。
『[2] 解の1つが-1<x<1, 他の解がx<-1または1<xにあ
るための条件は f(-1)f(1)<0 .: (-a+3)(-3a+7)<0
(a-3)(3a-7)<0
ゆえに くa<3
7
よって
-1
[3] 解の1つがx=-1のときは
f(-1)=0
ゆえに
よって
ーa+3=0
a=3
1)
このとき, 方程式は x°-x-2=0 :. (x+1)(x-2)=0
よって, 他の解はx=2 となり, 条件を満たさない。
解の1つがx=1のときは
0273 4
3
-6
a
f(1)=0
7
2)
よって
-3a+7=0
ゆえに
=D
3
このとき,方程式は 3xーx-2=0
.(x-1)(3x+2)=0
2
7
3
a
3
2
[1], [2] で求めたaの値の範
囲と,[4]で求めたaの値を
合わせたものが答え。
よって,他の解は x=-
となり, 条件を満たす。
-(4] から
2Sa<3
*40
または
