（3）で、マーカーを引いてあるところがよくわかりません。 特に、2-αのところです。

302 隣接3項間の漸化式 (3) 2辺の長さが1 と2cmの長方形のタイルがある.縦が2cm,横が ncm 1 の長方形の場所をこれらのタイルで過不足なく敷きつめるとき,そ Check のような置き方の総数を an で表す. ただし, nは正の整数である. (1) a1,a2 を求めよ. (3) {an}の一般項an を求めよ. 枚置くかで2通りに分け られる.これより,n+2/ までのタイルの置き方は、 +2=an+1+an となる. (2) An+2 An+1, an £¶v›¯‡t. タイルの置き方を具体的にイメージしてみる。 のタイルをA.のタイルをBで表すと, 2までタイルを置いたとき, 一番右端のタイルの置き方は, Aを1枚置くか,Bを2 (i) 2n+1 An+2 conce どうなる 720 5 (1) n=1のとき, タイルの置き方は1通りより, α=1 あとは確定 0-1+√/5, a=- 2 通り Aのダウ n+1 nn+2 B= **** n=2のとき, タイルの置き方は2通りより, a2=2 (2) 横が (+2cm のとき, タイルの置き方は、次の2 つに分けられる。 または (すでに横が (n+1) cm までタイルが置かれて(n+1)cm まで置いて いて、最後に縦に1枚置いて,(n+2 cm とする. いるので, an+1(通り) すでに横がncmまでタイルが置かれていて, 最縦に2枚並べる置き友 後に横に2枚置いて,n+2cm とする。 は(i)に含まれる. よって, (i), (i)より, an+2=an+1+an (3) 特性方程式 x2=x+1, つまり, x²-x-1=0 の2つの解を p.534 参照 1+√5 8=1-√√5 α== B= 2 2 数列{an+1- aan} は初項az-αa1=2-α,公比βの等比数列より, an+1-dan=(2-α)βn-1 また,α+B=1,B2=β+1 より, 2-α=β+1=β2 hp- an+1-αan = B2.pn-1B+L① an=a_g(an+1-βn+1) 通り Bのタイル2枚 んでおけば あとは確定 よって, また, an+2-Ban+1=α (an+1-βan) となるから,上と同様に, an+1- Ban=an+1 ·② ②① より n 10 とすると, an+2-αan+1=β(an+1- αam)となる. 1-√√5 £), an=- 2 533 ESPE 第8 *), an= // ((¹+√5) **¹-(1-√5) **) \n+1 5 2

解説のように特性方程式は連続する2数(an+1とanなど)じゃなくても２つをxとおいて解くことができるのでしょうか？

= an+3 言 1 an + 1/2 (an+ 2 + +an+ ₁ + 1 an ) ·an+1 An M=a+M an である。 ③より X = であるから Mte 41 an+3 x+/+M - 4M = (an-M) 8 3 x = M

なぜ蛍光ラインの式に持っていくのですか？

考え方 [Check 例題 解 a1=2, an+1=2an+1 で定義される数列{an}の一般項an を求めよ. 285 漸化式 an+1=pan+q (p≠1) bn+1=pbn こわいとでき、数列{bn}は公比』の等比数列となる. の等比数列となる。同 与えられた漸化式を, an+1-a=p(an-a)...... (*) 漸化式 の形に変形できれば, an-a=bn とおいて, 解より p+,nd=in R こ このαを求めるには、次の方程式 (**) を解けばよい. = pan+a(1-p) もとの漸化式 an+1= pan+ α と等しくなるには,g=α(1-b) であればよい. つまり、変形すると、 a=pa+q...(**) となり, この式は,もとの漸化式の an+1 と an を αでおいた方程式と同じになる。この方程式を特性方程式という. an+1=3・2n-1 よって, (別解) an+1=2an+1① より, ②-① より, ocus 2010 JAN an+1=2a+1より, an+1+1=2(an+1)=左野さ=2a+1 より, α=-1 数列{an+1} は,初項 α1+1=2+1=3, 公比 2 の等比数列 REPUE だから,一般項は, 慣れるまでは, an+1=6n とおいて, 数列{bn} を考える an=321とよいかを考 an+2=2an+₁+1......2 3 ptxd an+2an+1=2(an+1-an) an+1-an=bn とおくと, bn+1=26m となり, 数列{bn} は,初項 bı=a2-α=2a+1-a=a+1=3,公比2の 等比数列より bn=3.2n-1 #lpt n-1 32-1-1) n≧2のとき, an=ax+20=2+ 2-1 k=1 n=1のときも成り立つから, 3 漸化式と数学的帰納法 ** ON an+1=pan+q (p⇒1) this. an=3.2-1-1 注 特性方程式 α = pa+q (p≠1) 漸化式 (慶應義塾大) an+1= pan+α の特性方程式 a=pa+q -=3.22-1-15-3)x=x 140 n=1のときを確認 α=3.2°-1=3-1=2 d anti-α = p(an-α)と変形して等比数列に帰着 IACH 特性方程式を用いず 階差数列を利用する. {bn}は{an}の階差 数列 3 p+xd=x JctJ an+1=pan+g・･･･① について, an+1 と an を α とおくと, a=pa+q ......2 ◆ 特性方程式」 ①-②より, an+1-α = p(an-α) ...... ③ ①p+md と変形でき,②を解くと③に入れるαの値を求めることができる. (③を展開すれば①の式になる.このことも確認しておくとよい.)

丸つけているところの展開の仕方がわかりません！

・隣接3項間 基本 例題110 漸化式と極限 (2)、 00000 その条件によって褒められる数列 (c) の極限値を求めよ。 1 2=1, -(an+1+3an) 4 計方針は基本例題109と同じく,一般項an をnで表してから極限を求める 方般3項間漸化式でその支解をすると、そのとおいたの2次方程式 M ( 特性方程式) を解く。 その2解をα, βとすると、Bのとき の2通りに変形できる。 この変形を利用して解決する。 なお, 特性方程式の解に1を含むときは, 階差数列 が利用できる。 解答 与えられた漸化式を変形すると (1+1—an) an+2an+1 ゆえに, 数列{an+1-an} は初項1,公比 - - an+2)adn+1=β(an+1-Qan), an+2-Ban+1=0(a.ti-Ba.) an=a+ よって, n ≧2のとき 3\n-1 ²x = (-³) -¹ an+1_an= +(-3)*¹²* k=1\ k-1 よって n→∞ =0+ liman= 1-(-3)^²-² 1-(-³) 07 4 -lim-/-(1-(-3)^¹-¹) = 4 また a2-a=1-0=1 の等比数列で 1 3 4 n-1 -40-(-3)) したがって 注意 この問題のように, 単に数列{an}の極限を求めるときは, 2のときだけを考えてかまわない。つまり, n=1の ときの確認は必要ない。 n-11 別解 [am の求め方] 与えられた漸化式を変形すると 3 3 an+2an+1=- (an+1-an), an+2+ an+1=an+1+ 4 4 -7a₁-(-3) ³-²-1 an= P.176 まとめ 基本 109 3 4 a.- -/- (1-(-3)^"") an 3 4 025 -0.-(-3). am + fama+fa=1 ゆえに an+1-an=| -an = 3 an+1+ 4an=a₂+₁ 491=1 辺々引いて an =(x+3) を解くと 4x2=x+3 4x2-x-3=0 (x-1)(4x+3)=0 よって x=1, 3 4 {an}の階差数列{bn}が かれば,n≧2のとき n-1 an=a₁+Σbk k=1 18 Aa=1, B=- 極限を求めるとは, n→∞ の場合を考 -3/2 3 4' とα=- β= 場合の2通りで Man+1 を消去。

数列の問題です 解説お願いしますm(_ _)m

2. 次の和Sを求めよ. ( 13点 ) Sn=1+3・2+5・22 +7 ・ 2 + + (2n-1)2”-1 3. 次のように定められた数列{an}の初項から第4項までを求めよ. (5点) a1=1, an+1=2an-1 (n=1, 2, 3, …....) 4. 次のように定められた数列{an}の一般項を求めよ. ( 11点 ) a=1, an+1=an+6n²+1 (n=1, 2,3,......) 5. 次のように定められた数列{an}の一般項を求めよ . ( 11点 ) a1=4, an+1=2an-1

数列 この問題ってn≧2の時って途中で書かなくて良いのですか？

基本 例題129 和 S と漸化式 087 数列{an}の初項から第n項までの和Snが, 一般項anを用いて |Sn=-2a-2n+5 と表されるとき,一般項an をnで表せ。 n a=Si n≧2のときan = Sn-Sn-1 指針▷ an と Sn の関係式が与えられているから, まず 一方だけで表すために を利用する。ここでは, n=2とn=1の場合分けをしなくて済むように,漸化式 S,=-2a-2n+5でnの代わりにn+1とおいてS+1 を含む式を作り,辺々を引くこと によって S を消去する。手順をまとめると ① α=S1 を利用し,α を求める。 2 an+1=Sn+1-Sn 4³5, an, an+1 Dl£÷1F3. Sn+₁ = a₁ + a₂+...+an+an+1) CHARTD >*E* (−) Sn =a₁+a₂+ +an Sn+1−Sn= an+1 an, an+1 の漸化式から,一般項an を求める。 ( 解答 Sn=-2an-2n+5 ① とする｡ ① に n=1 を代入すると S₁=−2a₁−2+5 S=α であるから a=-2a-2+5 よって ①から ②① から BASOFT したがって a=1 Sn+1=-2an+1−2(n+1)+5 Sn+1-Sn=-2(an+1−an) -2 BAL □ Sn+1 -Sn=an+1 であるから よって ht=2 3 ゆえに ここで a+2=1+2=3 数列{a,+2} は初項3,公比 1/3の等比数 FR an an+1+2= an+1=-2(an+1−a) -2 Statin 2 3 (an+2) S+n+n の等比数列であるから - =(I+ [皇學館大] pon-350X の方程式。( 基本 107,116 (+) ①での代わりにn+1 とおく。 lan+1, an だけの式。 漸化式αnt=pantg ◆特性方程式 α=12/31-1/23 題を解くと α=-2 C# (S) a FANS (1) ** 2n-1 an+2=3. (2²) ² 本 an=3. (12/3)-(12) 20(-2) 画

数列に関する問題です。 (3)についてですが、3項間漸化式を二次方程式に見立てている理由がよくわからないです。 数列なので「an+2」が「なにかの二乗」というわけでもないのにどうして解の公式を用いることができるのですか？ どなたかわかりやすい言葉で教えてください🙇🏻‍♂️

数列{an}が,a1=-1, 22ak=3an+1-2an-1 (n=1, 2, 3, …) を満たすとき, (1) az を求めよ. (2) 3an+2-7an+1+2an=0を示せ. を求めよ. (3) an ●10 和と一般項の関係, 3項間漸化式 Sn を含む漸化式は, 「an=Sn-Sn-1(n≧2)」.....☆ を用いて, So を消去し, an an=Sn-Sn-1 だけの漸化式に直す. ☆は一般にはn≧2のときのみに通用することに注意 (n=1 とするとn-1=0 になってしまう!). n=1のときは, α = S1 を用いる. an+2+pan+1+gan=0 an+2+pan+1+gan=0 の一般項を求めるには、x+px+q=0の解α, B を 用いる。 解と係数の関係より、カニー(a+β),a=aß. よって, an+2-(a+B)an+i+aBa„=0.これを an+2-aan+1=B(an+1-αan), an+2-Ban+1=a(an+1- Ban) と変形する. a=βのときは, an+2-αan+1=α(an+1-αan)より, an+1-can=q"-1(a2-aa)として, an+1=aan+san-1(s=a2-aa1). これを α"+1で割り, bn=an/a" とおくと{bn}は等差数列になる. 解 答 12 Sh= Zak とおくと, Sn=3an+1-2an-1 (1) ① でn=1 とすると,2S1=3a2-2a-1 S=q=-1だから, -2=3a2+2-1 .. az=-1 (2) ① のnを n +1 にすると,2Sn+1=3an+2-2an+1−1 ②-①より, 2an+1=3an+2-3an+1-2an+1+2an ④より, an+1 ∴.3an+2-7an+1+2an=0 7 (3) (2)より, ax+2/1/30m+1+1/30m=0 [右の傍注に注意し] ③を変形して an+2-2an+1 ·(an+1-2an) ⑤ より, an+1 よって, an+2¯ = n k=1 1 3 3 \n-1 1-20, =(1/2)^'(a2-241)=(1/2)"^'(-1+2)=(1/2)*^^ 3 2n-1(02-1/241)=2"-1(-1+1/3)=(-/23) 3 an=2n-1 a2 3 3 2 +-³ × (2-6) - {( - ) an= (⑦⑥) 5 3 ・④, an+2' ・2n-1_ (山形大工/一部省略) 1 5 :- =— an+1=2(an+₁ — — ₂) -an 3 '-(1/2)^2}=1/{2n+(1/8)^2} |2"+ J・2n-1 10 演習題 (解答は p.76 ) ←Sn+1-Sn=an+1 7 2 ③ェー -x+ -=0の解は 3 3 (2) (13) 0により. x=2, 1 3 3 ← ④ より {an+1-2an}は公比 等比数列.

！！！至急お願いします！！！ マーカーのところで、この式はどこから求めた式ですか？

576 基本例題 126 連立漸化式 (2) 数列{an},{bn} を α = 1, b1 = -1, an+1=5an-4bn, bn+1=an+bnで定めると (1)an+1+xbn+1=y(an+xbn) を満たすx, yの値を求めよ。 (2) 数列{an}, {bn}の一般項を求めよ。 MERA 指針 p.575 基本例題125 (1) と同様に, 〔解法1] 「等比数列を利用」 の方針によって解けばよ an+xbn=(a₁+xb₁) (2) (1) から,数列{an+xbn}は公比yの等比数列となり これに αn=bn+1-6 を代入し, an を消去すると bn+1=(1-x)bn+(a+xbi)yn-1 解答 (1) an+1+xbn+1=5an-4bn+x(an+bn) $27 an+1= pan+g 型の漸化式 (p.564 基本例題118) に帰着。 よって, ① の両辺をy7+1で割ればよい。 =(5+x)an+(-4+x)bn よって, an+1+xbn+1=y(an+xbn) とすると (5+x)an+(-4+x)bn=yan+xybn REOC I) (S これがすべてのnについて成り立つための条件は ...... 5+x=y, -4+x=xy 5+x=yを4+x=xy に代入して整理すると x2+4x+4=0 ゆえに したがって 求める x, yの値は (2) (1)から an+1-2bn+1=3(an-2bn) よって, 数列{an-26m}は,初項α1-261=3,公比3の等比 数列であるから x=-2 x=-2, y=3 bn+1 bn 1 + 3n+1 3" 3 + + an-26m=3.3"-1 3 すなわち an=26+3" これに an=bn+1- 6 を代入すると bn+1=36n+3 3¹ bn あるから 第1-131+(n-1)-13-032 = よって a=3"-¹(2n-1), b=3"-¹(n-2) 両辺を 37+1 で割ると 数列{10} は,初項 1/14-11/11/13 公差 1/13の等差数列で = ま め [参考] [解法2][1つの に関する漸化式に帰着させ る]の方針による解答 an+1=5an-4bn. bn+1=an+bn ② から a=bx+1-bm an+1=bn+2-b₁ これらを①に代入して bn+2-6bn+1+9bn=0 特性方程式x^2-6x+9=0 解くとx=3(重解) よって, p.573 基本例題124 と同じ方針で、 まず一般 を求める。 1 lan+1=pantg”型は両辺 g" +1 で割る(p.564 参照)。 an=26+3に代入。

確率の問題です。 青い点線のところで、何故²/₃と¹/₃になるのか教えてください🙇‍♀️

練習 239 1個のさいころをn回投げる。 この回の試行のなかで, 5以上の目が偶数回出る確率を Dm とするとき, n をnの式で表せ。 (n+1) 回の試行のなかで, 5以上の目が偶数回出るのは, 次の(ア) また は (イ) の事象である。 (ア) n回目までの試行で5以上の目が偶数回出ており、(n+1)回目の 2 試行で5以上の目が出ない。 その確率は pmx 3 (イ) 2回目までの試行で5以上の目が奇数回出ており, (n+1) 回目の 試行で5以上の目が出る。 その確率は (1-pm)× 1x1//3 (ア), (イ) は互いに排反であるから p=11/12(12/1/10/1/ Pn+1 2323²Px + 3/3 (1 - Du) = 3/5 pm + 1/3 変形すると Pe.. - (P-1) Pn+1 1/1/12 - 11/13 (²) - 11/12) 回の試行のなかで5以 上の目が偶数回出る確率 13 Pn 回の試行のなかで 5以 上の目が奇数回出る確率 は 1-m 特性方程式 α= 3 at 1 3

至急お願いします。 なぜ絶対値をつけているのでしょうか。 また、波線の部分がどのように導かれたか分かりません。 97について、Bp =xnと置いた理由や、1/2とは何を指すのか教えていただきたいです

ときの極 基本事項 D 基本例題 {r"} の極限(rの値で場合分け) rn-1 2218 mn+1 よって キー1 のとき, 極限 lim- CHART rk1のとき よって lim →∞ r=1のとき \r|>1 のとき ♪” を含む数列の極限 .72 {r"} が収束する, すなわち, r|<1 やr=1のときは, 与式のまま極限を考える ” の極限は,rの値により異なるから 場合分けして考える。 ことができる。 |r|>1 {r^*} >1 のとき, (7) は収束しないが, 1/21 から (12) が収束することを利用 <1 する。基本例題 89 と同様に、分母・分子を”で割ってから極限を考える。 lim n→∞ limr"=0 1218 OLUTION xn-1_0-1 inn+1 nn-1 rn+1 0+1 r"=1. よって ||<1 =lim n→∞ ゆえに n 1- (-1) " 1+ n を求めよ。 r=±1 が場合の分かれ目･････ = -1 lim nnn+1 1+1 lim n→∞ (1) 1-0 1+0 n =1 -- p.141 基本事項 基本 89 =0 =0 inf. r=-1 のとき, nが 奇数ならば r"=-1 であ るから, (分母)=0 となり rn-1 rn+1 が定義されない。 147 ◆分母・分子をr” で割る。 INFORMATION” の極限 この例題からわかるように, " を含む式の極限は,r=±1 を場合の分かれ目として 場合分けして考えるのがポイントである。 また, r|>1 のとき, { r"} は収束しないが, // 1)") 4章 10 数列の極限