Question

さこ

数列に関する問題です。
(3)についてですが、3項間漸化式を二次方程式に見立てている理由がよくわからないです。

数列なので「an+2」が「なにかの二乗」というわけでもないのにどうして解の公式を用いることができるのですか？

どなたかわかりやすい言葉で教えてください🙇🏻‍♂️

数列{an}が,a1=-1, 22ak=3an+1-2an-1 (n=1, 2, 3, …) を満たすとき,
(1) az を求めよ.
(2) 3an+2-7an+1+2an=0を示せ.
を求めよ.
(3) an
●10 和と一般項の関係, 3項間漸化式
Sn を含む漸化式は, 「an=Sn-Sn-1(n≧2)」.....☆ を用いて, So を消去し, an
an=Sn-Sn-1
だけの漸化式に直す. ☆は一般にはn≧2のときのみに通用することに注意 (n=1 とするとn-1=0
になってしまう!). n=1のときは, α = S1 を用いる.
an+2+pan+1+gan=0
an+2+pan+1+gan=0 の一般項を求めるには、x+px+q=0の解α, B を
用いる。 解と係数の関係より、カニー(a+β),a=aß. よって, an+2-(a+B)an+i+aBa„=0.これを
an+2-aan+1=B(an+1-αan), an+2-Ban+1=a(an+1- Ban) と変形する.
a=βのときは, an+2-αan+1=α(an+1-αan)より, an+1-can=q"-1(a2-aa)として,
an+1=aan+san-1(s=a2-aa1). これを α"+1で割り, bn=an/a" とおくと{bn}は等差数列になる.
解 答
12
Sh= Zak とおくと, Sn=3an+1-2an-1
(1) ① でn=1 とすると,2S1=3a2-2a-1
S=q=-1だから, -2=3a2+2-1
.. az=-1
(2) ① のnを n +1 にすると,2Sn+1=3an+2-2an+1−1
②-①より, 2an+1=3an+2-3an+1-2an+1+2an
④より, an+1
∴.3an+2-7an+1+2an=0
7
(3) (2)より, ax+2/1/30m+1+1/30m=0
[右の傍注に注意し] ③を変形して
an+2-2an+1 ·(an+1-2an)
⑤ より, an+1
よって,
an+2¯
=
n
k=1
1
3
3
\n-1
1-20, =(1/2)^'(a2-241)=(1/2)"^'(-1+2)=(1/2)*^^
3
2n-1(02-1/241)=2"-1(-1+1/3)=(-/23)
3
an=2n-1
a2
3
3
2
+-³ × (2-6) - {( - )
an=
(⑦⑥)
5
3
・④, an+2'
・2n-1_
(山形大工/一部省略)
1
5
:- =— an+1=2(an+₁ — — ₂)
-an
3
'-(1/2)^2}=1/{2n+(1/8)^2}
|2"+
J・2n-1
10 演習題 (解答は p.76 )
←Sn+1-Sn=an+1
7
2
③ェー -x+ -=0の解は
3 3
(2) (13) 0により.
x=2,
1
3
3
← ④ より {an+1-2an}は公比
等比数列.

数列

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

マドラー

すいません、記述ミスがあったので貼り直しました。

漸化式の特性方程式っていうのは、たまたまそういう形(1次方程式の形になったり、2次方程式の形になったり…)っていうのもだと思って、下の解説を見て下さい。

(解説)
まず普通の漸化式
aₙ₊₁ = paₙ+q ･･･①
を考えます。これを解くとき、知っての通り
aₙ₊₁ - α = p (aₙ-α) ･･･②
の形に持って行けたらこの漸化式は等比数列として解く事ができます。
なので、そのためにαを求める必要があります。
なので、②を展開して①と比較する事を考えると、
②を展開して、整理すると
aₙ₊₁ = paₙ-pα + α
となり、これと①が同じになるには
q = -pα + α ∴ α = pα+q
といった、いつも特性方程式が出てきますよね。
これがたまたま
aₙ₊₁ = paₙ+q ･･･①
α = pα+q
というようにaₙ = aₙ₊₁ = α とした形になっています。

では、本題で隣接3項間の漸化式
p aₙ₊₂ + q aₙ₊₁ + r aₙ =0･･･③
も同じように考えて
aₙ₊₂ - α aₙ₊₁ = β (aₙ₊₁ - α aₙ) ･･･④
の形に書くことができれば、解くことができるので、同様にして、④を展開して、③と比較すれば良さそうですよね。
④を展開して整理すると
aₙ₊₂ - (α+β)aₙ₊₁ + αβ aₙ =0
したがって、③を
aₙ₊₂ + q/p aₙ₊₁ + r/p aₙ =0 (両方をpで割った)
として比較してみると
α+β = -q/p , αβ = r/p
したがって、α,βは解と係数の関係より、2次方程式
px²+qx+r=0
の解ということになり、これが特性方程式です。
これがたまたま
p aₙ₊₂ + q aₙ₊₁ + r aₙ =0･･･③

p x² + q x +r =0
のようにaₙ₊₂=x², aₙ₊₁ = x, aₙ=1 としたような形になっていたという事です。

なのであまり気にせずに解いてしまって下さい笑

わかりにくかったらすいません

さこ

コメントありがとうございます！
なるほど。
普通の漸化式を文字に置き換えていたようにこれも置き換えているんですね。
どちらとも無理やり綺麗にまとめられる数字を求めている(？)ということでしょうか🧐

マドラー

個人差で無理矢理かどうかは感じ方が違うと思いますが、そんな感じで捉えていただいても大丈夫だと思います。

解ける漸化式の形から逆算して、文字を求めようとしたらその形(その特性方程式が出た)になったっていう事なので問題ないと思います。

さこ

よくわかりました！
丁寧に解説してくださりありがとうございます🙇🏻‍♂️