基本 例題 96 逆関数がもとの関数と一致する条件
bx+1
x+a
α, b は定数で, ab=1 とする。 関数y=
と一致するための条件を求めよ。
解答
指針 2つのxの関数f(x), g(x) が一致する (等しい)とは
[1] 定義域が一致する
[2] 定義域のすべてのxの値に対して f(x)=g(x)
が成り立つことである。 この問題では,f'(x)=f(x) が定義域で恒等式 となる
ための必要十分条件を求める。
何がおきた??
bx+1_b(x+α) +1-ab1-ab
=
x+a
したがって, ① の値域は
① から y(x+α)=bx+1
y=bであるから x=
よって, ① の逆関数は
x+a
y=b
-ay+1
y-b
y=-
x+a
ゆえに x(y-b) = - ay+1
-ax+1
x-b
+b
(x+b)
bx+1
x+a
******
_ -ax+1
x-b
①の逆関数が,もとの関数
[奈良大]
①と②が一致するための条件は、
がxの恒等式となることである。
③ の分母を払って
xについて整理すると (a+b){x^²+(a-b)x-1}=0
これがxの恒等式であるから
a+b=0 (すなわちb=-α)
このとき､①と②の定義域はともにxキーαとなり一致する。
******
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基本95
別解 定義域が一致すること
に着目した解法。
f(x)=
とする。
f(x) の値域はy=6であるか
ら、逆関数f'(x) の定義域は
x=b
bx+1
x+a
f''(x)=f(x) であるとき,
f(x) の定義域 x
αが
xbに一致するから
a=b (必要条件 )
このとき, f(x)=ax+1
x+a
(bx+1)(x-b)=(-ax+1)(x+α) の逆関数はf(x) に一致する
( 十分条件)。
この確認を忘れずに!
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逆関数と合成関数
