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重要 例題87 2変数関数の最大·最小 (2)
yの関数 P=x°+3y?+4x-6y+2 の最小値を求めよ。
(2) x, yの関数=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 の最小値を求めよ。
「なお,(1), (2) では, 最小値をとるときのx, yの値も示せ。
OO00
重要 例題
(1) 関数 y=
(2) -1Sxミ
値を求め。
(1) 類豊橋技科大,(2) 類 摂南大1
指針> (1) 特に条件が示されていないから, x, yは互いに関係なく値をとる変数である。
Ix, yのうちの一方の文字(ここではyとする)を定数と考えて、Pをます。
指針>4次関数
に帰着で
このようなときは,次のように考えるとよい。
(2) 繰と
がtG
2次式とみる。そして, Pを基本形 a(x-b)°+qに変形。
2 残ったg(yの2次式)も,基本形 6(yーr)+s に変形。
3 P=aX°+by'+s (a>0, b>0, s は定数)の形。
→PはX=Y=0のとき最小値sをとる。
(2) xyの項があるが,方針は(1) と同じ。 Q=a{x-(by+c)}\+d(y-r)+sの形に刻
紙
CHART)
解答
の(1) x=tと
yをtの式
CHART 条件式のない2変数関数 -方の文字を定数とみて処理
ソ=tー
解答
t20 の範囲
(1) P=x°+4x+3y?-6y+2
=(x+2)°-2°+3y?-6y+2
re=(x+2)°+3(y-1)-3·12-2
= (x+2)°+3(y-1)-5
x, yは実数であるから
よって, Pはx+2=0, y-1=0 のとき最小となる。
ゆえに
最小となる
(まず,x について基料。
よって
(2) x°-2x-
t=(x
5S▲次に, yについて基料
P=aX?+bY?+sの税
(x+2)°20, (y-1)20
(実数)20
-1SxSI
(x+2=0, y-1=0を割
x=-2, y=l
yをtの
y=t
のの範囲
x=-2, y=1のとき最小値 -5
と
(2) Q=x°-2xy+2y°-2y+4x+6
=x-2(y-2)x+2y?-2y+6
=(x-(y-2)}-(y-2)°+2y?-2y+6
=(x-y+2)°+y°+2y+2
38-
t=-2
0S+ x+ x+ の形に。
t=2 で
まず,xについて基
t=-2 の
ゆえに
イ次に,yについて基
KQ=ar+b?"+s0%
(実数)20
よって
x, yは実数であるから
よって, Qはx-y+2=0, y+1=0 のとき最小となる。
x-y+2=0, y+1=0 を解くと
t=2 のと
ゆえに
よって
(最小値をとるよ yの
(連立方程式)の解
() 8 .0)=(c
ゆえに
x=-3, y=-1
x=-3, y=-1のとき最小値18動大郎
-1Sx=
以上から
(1) x, yの関数P=2x*+y°-4x+10y-2 の最小値を求めよ。
87 (2) x, yの関数Q=x*-6xy+10u
練習
練習
88
なお
1)
Dらと。
