（3）解説のgcdの二行目の式変形が分からないです

8.6 数列{an} を次の条件によって定める。 8 ・g a=1, 2=2, an+2=2an+1+a (n=1, 2, 3, ...) (1) as, ai, as を求めなさい。 9.) (2)についての1次不定方程式 〇 ash+αy=1の整数解をすべて求めなさい (3) すべての自然数nに対して, an と +1 が 互いに素であることを示しなさい。 (17 首都大・文系)

数学1A (2)からが分かりません💦 教えていただけると幸いです( . .)"

太郎 : でも, x0, 1,2,…と代入して調べていくのはちょっと大変だから、別の方法はないかな。 例えば、①を変形して, x=- 1-17y ③ として考えてみるよ。 xは整数だから ③ にお 7 ける17yは7で割ると余る数だね。 花子: 面白い考えだね。 それなら17を7で割ると余りが3だから、それを利用すると,③は, 1+7(-2y)-3y=-2y+1-31 となって, 3yは7で割ると 余る数だね。 太郎 : すると, 17y や 3y と同様に,yは7で割るとオ 余る数ということかな。 花子: 本当かな。 yを7で割った余りをとすると, lを整数として, y = 71+ ができて、そこから考えるとyは7で割るとキ余る数だよ。 x= (2) オ キに当てはまる数を求めよ。 また, ⑩~③のうちから一つ選べ。 m(mは整数) ①mmは0以上6以下の整数) 7m (mは整数) ③7mmは0以上 6以下の整数) 太郎 : y = キ を③に代入してみると, x=-クケ つだね。 花子: y = 7l+ト キを③に代入してみると, 方程式 ①の整数解は x=- ウエルークケ y= ......4 (Iは整数) となるね。 太郎: あれ、②と④は異なるから、どちらか一方は間違いなのかな。 花子 : どちらも正しい答えだよ。 コ という関係になっているよ。 太郎: なるほど。(a) 7セイ は7で割ってキ余る数ということだね。 整数解の表し方は (b) いろいろあるけれど、意味は同じなんだね。 整数とする ⑩7n+10 ①7m+20 x== (3) クケに当てはまる数を求めよ。 また, つ選べ。 Ⓒ1=k ① 1=k+1 ② l=k-1 3 1=-k (4) 下線部(a)について、7で割ってキ余る数を、次の⑩~⑤のうちから一つ選べ。 ただし、nは サ ウエ k+ クケ クケ ウエk+ クケ ウエ k- に当てはまる最も適当なものを、次の 7n+30 3 7n-10 4 7n-20 5 7n-30 (5) 下線部(b)について, 方程式 ① の整数解として正しいものを、次の①~③のうちから一つ選べ。 た だしは整数とする。 ⑩ x = - ①x= ウエ k- ②x=1 y=7k- キ y=-7k+ キ y=-7k- キ と表すこと クケ + y=+ ア, y=7h+キ は方程式 ① の整数解の一 に当てはまるものを、次の⑩~③のうちから一 (配点 15) 公式

53x+12y=1 の不定方程式の解はどのように探したらいいですか？ (xが正の整数で最も最小) ちなみに答えはx=5,y=-22です。

ここの問題の解説と答えが欲しいですお願いします教えてくださった方フォローいいねベストアンサーします

中の [12] xについての2つの2次方程式 x2 + ax + b = 0 x2-5x+6=0 を同時にみたす解がただ1つあるとき、 a,b の値の組(a,b) をすべて求めよ。 ただし、a、bはともに負の整数とする。 (思考・判断・表現 3点) 点)

「13と7は互いに素なので、x＋1は7の倍数である」この文の意味がいまいち分かりません。 教えて頂きたいです。

(1) 次不定方程式の数をすべて集めま (2) 11 とり、めでとる整数のうち、1000に最も近い ものを求めま 不定方程式 azbyc(あは互いに素)の整数解を求める手順は ① azntbyo-c となる整数の組(x) を求める (特殊解)。 (22) 辺々を引き算して、a(エーエート(ターの形を作る。 a (エーエル)はもの倍数であり、 ともは互いに素なので、エーエッほも の倍数である。よって,エーエーbn(nは整数) とおける。 ここから、 x=x+ón, y = yo-an が求められる (一般解)。 特殊解さえ求められれば、あとは定形の 「作業」で解くことができます。 解答無 (1Xi) 13x+7y=1 ①の特殊解の1つは (x,y)=(-12 である. これを①に代入して, 13・(-1)+7・2=1 ...... ② ①② より 淀 x+1=7n (nは整数) ...... ④ 13(x+1)+7(y-2)=0 13(x+1)=-7 (y-2) ...... ③ 13(x+1)は7の倍数であり,13と7は互いに素なので、 x+1は7の倍数である. よって ココが大切 とおける. これを③に代入すると, 13.7n=-7(y-2),y-2-13n...... ⑤ 13=7×1+6 7=6×1+1 より 1=7-6×1 ④⑤より、求める一般解は, =7-(13-7×1 =13×(-1)+7 x=7n-1, y=-13n+2 (nは整数)

この回答の間違えてしまった原因を教えてください。

2549 -7° 3(5p-3)+2 = 7m²4 15 p-7m = // n=32+2 = 54 +3 = 7₂ +4₂ 5y 0 3x²+2=53+3 3x-57=1 3(x+2) - 5 (1 +1)=0 x+2=51€ Ⓒ @ 5 k-2, y = 3€ + 1. (2₁4)=(-2,-1) @ 3x+2=72+4 3x - 72 = 2 a 15k-6-72=2 15€-178 = +8 (K₁2)=(8.16) 15.(k-8) - 7 (2-16)=0 K-8 = 71 ( < Ⓒ ) (K 7l + 8) x=350+40-2=351+38 n = 3 (351 +38) + 2 = 105 1 + 116 >0 l>-/./.... I 17 ⒸDal = - 1 Dn= -105 + 116 =11

この問題の(1)の答えがx=-6k+28,y=7k+12でも正解になりますか？

508 基本例題 128 1次不定方程式の整数解 (2)... ax+by=c 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 (1) 7x+6y=40 kx (2) 37x-90y=4 A 7.2² 指針ax+by=cの整数解 が第一の方針。 ない。そこで,(2)では, 次の方針による解答を考えてみよう。 (121 CHART 不定方程式の整数解 内にあわせる 1組の解 (p.g) を見つけて a(x-p)+b(y-q=0 しかし (1) は比較的見つけやすいが, (2) は簡単に見つから aとbの最大公約数を互除法によって求め、その計算過程を逆にたどる。 ・特に, 1 = ap+bg の形が導かれたら、 両辺を倍して4(cp)+b(cq)= 47100-4 [2] 係数を小さくして (本書では係数下げ と呼ぶ), 1組の解を見つけやすくする。 なお、検討として, [3] 合同式を利用する 解法も取り上げた。 解答 7(x-4) +6(y-2)=0 (1) x=4, y=2は7x+6y=40の整数解の1つである。 ゆえに、方程式は すなわち とは互いに素であるから, kを整数として 7(x-4)=-6(y-2) x-4=6k, -(y-2)=7k と表される。 よって解は x=6k+4,y=-7k+2 (kは整数) (2) [解法] 37x-90y=4 m=37, n=90 とする。 (a) 90=37・2+16 から 16=90-37.2=n-2m 37=16･2+5 から 5=37-16・2=m-(n-2m) ・2 ****** =5m-2n 解がすぐに見つからなければ 互除法 または 係数下げ ⑤⑥ 16-5-3+1 5 1-16-5-3-(n-2m)-(5m-2n).3 -**--. ****** =-17m+7m 37-(-17)-90-(-7)=1 基本127 演 131, ゆえに ○ 両辺に4を掛けて ! ①② から 37(x+68)-90(y+28) = 0. すなわち 37(x+68)=90(y+28) 37 90 は互いに素であるから, kを整数として x+68=90k, y+28=37k 37 (68) -90(-28) =4..... ② と表される。 よって, 解は x=90k-68, y=37k-28 (kは整数) 7x+6y40 から 7x=2(20-3y) よってxは2の倍数であ る。このようにして, 方程 式を満たす整数解を見つけ る目安を付けるとよい｡ 互除法 の利用。 文字におき換えて変形。 前ページ参照。 16② を代入して整理す 16② 5 ⑥ を代入し て整理する。 m²を37, nを0に戻す。 x=-17, y=-7 は 37x-90y=1を満たす。

（4）です。なぜ-8/5のときではなく、-2の時最小値を取るんですか？

問 150 第5章 整数の性質 90 不定方程式 ax+by=cの解 P0011-088c4C080 x, y を整数とする. 方程式 2x-3y=7………. ① について,次の問いに答えよ. (1) ① をみたす (x, y) の1組をみつけよ. eecasebat eBal ( 1 (x,y) を (α, β) とするとき, 2a-3β=7② が成り たつ. Ee ①,②を利用して, x-αは3の倍数で, y-β は2の倍数で あることを示せ. (3) ① をみたす (x, y) をすべて求めよ. (4) ① をみたす (x,y) に対して,x'-y2 の最小値とそのときの x、yの値を求めよ.

不定方程式の整数解についての質問です。1枚目の写真はbk,-akとなり異符号で2枚目の写真は5k,3kとなり同符号です。なぜこのようになるんですか？異符号だからですか？ a-2=-5k,b-1=-3kやx-x_0=-bk,y-y_0=akと表していいんですか？

aとbを互いに素である整数として, c も整数とするとき, ・① LA HILC ax+by = c を満たす整数解 (一般解) は, ① を満たす1組の整数の組(xo,yo) (特殊解) を求め ると, ① から, と変形できるから, a(x-xo)=-b(y-yo) [x-xo = bk, ly-yo-ak (kは整数) として求められる. この特殊解が見つけにくいときは,ユークリッドの互除法を利用する.

不定方程式の整数解についての質問です。1枚目の写真はbk,-akとなり異符号で2枚目の写真は5k,3kとなり同符号です。なぜこのようになるんですか？異符号だからですか？ a-2=-5k,b-1=-3kやx-x_0=-bk,y-y_0=akと表していいんですか？

aとbを互いに素である整数として, c も整数とするとき, 1 (Ax-B)(Cyax+by=c を満たす整数解 (一般解) は, ① を満たす1組の整数の組(xo,yo) (特殊解)を求め ると, ① から, と変形できるから, a(x-x)=-b(y-yo) x-xo= bk, y-yo=-ak ly- ne 2 11 (は整数) として求められる. この特殊解が見つけにくいときは,ユークリッドの互除法を利用する.