HがAO内にある場合は考えないのですか？

260 底面の 重要 例題 169 球と球に内接する正四面体の体積比 類 お茶の水 半径1の球に正四面体 ABCD が内接している。 このとき, 次の問いに答えよ、 ただし,正四面体の頂点から底面の三角形に引いた垂線と底面の交点は、 三角形の外接円の中心であることを証明なしで用いてよい。 (1) 正四面体 ABCDの1辺の長さを求めよ。 (2) 球Oと正四面体 ABCD の体積比を求めよ。 指針 (1) p.255 p.257 の例題 165, 166と同様に, 立体から 平面図形を取り出して考える。 ここでは,正四面体の1辺を, 頂点Aから底面に垂線 AH を下ろしてできる直角三角形 ABH の斜辺ととらえ, 三平方の定理 から求める。 (2) 正四面体 ABCD の体積は 1/3 × △BCD×AH (4) 1/30 (= a ³) 12 (p.256~p.257 重要例題 166 参照) 解答 (1) 正四面体の1辺の長さをα とする。 正四面体の頂点AからABCD に 垂線 AHを下ろすと, Hは△BCD の外接円の中心である。 ABCD において, 正弦定理により (B 関に 2204 a 70% sin 60° BH= a AHAB²-BH² = a √√3 2 a | a² - ( ₂ )² = √ ² ₁ √√√6 a 直角三角形OBH において, BH2 + OH² = OB2 から 2 ()*+(5-1) = 1 021² a(a-²√/6)=0 a- =1 ゆえに √3 3 3 a>0であるから 2√6 a= 3 4 (2) 球Oの体積は1/31 12/31 - 1 1/3× * ABCDXAH = 1/(2√6) si 3 × -π, 正四面体 ABCD の体積は 8√3 27 sin 60°× したがって183=9:2√3 27 √6 2√6 3 3 重要 166 t ×(底面積)×(高さ) 球に正四面体が内接すると いう場合,正四面体の4つ の頂点は球面上にある。 ∠DBC=60°CD=α であ るから, △BCD の外接円 の半径をRとすると CD -=2R sin ∠DBC αの2次方程式を解く。 正四面体の体積がで 2√6 a= 26 とおくと 3 √2 48√6 8√3 12 27 27 球の体積は、正四面体 ABCD の体積の約8倍。 項 空間図 四面体と 位置関係 例えば、 球は正 に接す ここで 辺に接 半径 長さ

線で引いたところが分かりません…

136 正四面体と球 1辺の長さがαの正四面体 ABCD がある。 正四面体に外接する球の半径Rをαを用いて表せ。 例題 正四面体に内接する球の半径rをαを用いて表せ。 (2) Sc OLUTION CHART (1) 基本例題135と同様に,頂点Aから底面△BCD に垂線AHを下ろす。 外接する球の中心を0とする AH上の点Pに対して, PB=PC=PD であるから、 と, OA=OB=OC=OD(=R) である。また、直線 0は直線AH上にある。 よって, △OBH に着目して考える。 (2) 内接する球の中心をⅠとすると, I から正四面体 の各面に下ろした垂線の長さは等しい。 正四面体を I を頂点とする4つの合同な四面体に分けると、体 積について ◆四面体IABC, 正四面体= 4× (四面体 IBCD) IACD, IABD, これから, 半径r を求める。 IBCD (平面で三角形の内接円の半径を求めるとき, 三角形 を3つの三角形に分け, 面積を利用したのと同様) 解答 (1) 頂点Aから底面 △BCD に垂線AHをし IN +- B [類 神戸女学院大] A |基本 133,135 C D 207 4章 15 三角形

（2）の問題なのですが、(c)の異性体がなぜ一種類のみになるのかがわかりません。考え方を教えてほしいです。

To 2-4 コル 三捕 長の 三 2 メタン分子の4つのC-H結合がすべて等価であるとすると,次の3種 構造(a)正方形,(b)正四角すい, (C)正四面体が考えられる。 下の問いに答えよ。 ALH のほ (H) FONO(a) T (b) ID=(c)) (1) メタンと塩素の混合物に光を照射すると, メタンは A, B, C, D の順に塩素 化される。この塩素置換体 A,B,C,D の名称をそれぞれ記せ。 HOODHO (2) メタンの塩素二置換体Bが, (a), (b), (c) と同様の構造をとるとしたとき,異 性体はそれぞれ何種類あるか。 (H) JHS JEEWER 解説 アルカンの分子構造 CH4 メタン 200+ (S) 2 (1) アルカンには不飽和結合が存在しないので付加反応は起こらず、光の存在下でハロゲン と置換反応を行う。 メタンと塩素の混合物に光(紫外線) を当てると, メタンのH原子が Cl 原子によって次々に置換され、種々の塩素置換体の混合物を生成する。CHES 12-1 CH3Cl → CH2Cl2 ( CHC13 CCl4 (HEL) クロロメタン(A) ジクロロメタン(B) トリクロロメタン(C) テトラクロロメタン(D) (塩化メチル) (クロロホルム) (塩化メチレン) (四塩化炭素) これらの反応は次のしくみで起こる H. 光 VISA SteptiOXOCURI (1) ① Cl2 → 2C1･ ②CH4 + • Cl → ・CH3 + HC1 ③ CH3 + Cl2 → CH3Cl + Cl• T'S MOR 光エネルギーにより C1-C1 結合が開裂して塩素原子 C1 ができると, ② ③ 式の反応が繰 り返し起こる。このような反応を連鎖反応という。 ( 2 ) メタンの塩素二置換体として考えられる立体 ADI 構造の数を調べると, (a) 正方形では2種類, (b) 正四角すいでは2種類考えられるが, (c) 正四 面体では1種類である。 なお、実際は、Bには alla prostat 異性体が存在しないことから, メタンは(c) の正 6003 TOTOO 四面体構造をとることがわかる。 12-1 CHECK POINT H H (a) C1-C-H ≠ Cl−C−C1 異なる化合物 201 H HAC (b) HCI [CCI キH-** H DECID Ja Cl. I CI 異なる化合物 I (c)C1-C-H = HICH 同じ化合物 [H] CI A解答 2 (1) A クロロメタン B ジクロロメタンC トリクロロメタン D テトラクロロメタン (2) (a)2種類 (b)2種類 (C)1種類 145

65の(2)なんですけど、なぜaベクトルの係数が０と分かるのでしょうか？緑の線で引いたとろです 教えてほしいです。

EX 65 正四面体OABC に対して, 3 点 0, A, B と同じ平面上の点Pが 3OP=2AP+PB を満たし (1) OP をa, で表せ。 いる。 OA=α,OB=6,OC=cとおくとき (2) △ABCの重心と点Pを結ぶ線分が面 OBCと交わる点をQとする。 OQ をd, b, c で せ。 [福井大 30P-2AP+PB から 3OP=2 (OP-ON) + OB-OP OP=ON+1/2OB=-a+1/26 よって (2) PQ:QG=s: (1-s) とすると OQ=(1-s) OP+sOG =(1-s)(+1/26) + s - (²-1)+(²-) 6 + 2 c 4 138-1=0 点Qは平面 OBC上にあるから 3 s=³ 4 ゆえに 0Q=³b+- 8 よって 1→ 4 点Dから平面ABCに下ろした垂線の 足をHとする。 Hは平面ABC 上にあるから DH=sDA + tDB+uDC, s+t+u=1 ・① =(s-u, -2s-3t-2u, -7s-6t-5u) DHは平面ABC に垂直であるから ゆえに DH AB=0 第2章 空間のベクトル G 4s+3t+2u=0 B 2, DH.AC=0 EX 座標空間に4点A(2, 1,0), B(1, 0, 1), C(0, 1,2), D (1,37) がある。 3点 A, B, C を通 66 る平面に関して点Dと対称な点をEとするとき, 点Eの座標を求めよ。 [京都大〕 ..…... ●D C と表される。 DA=(1, -2, -7), DB=(0, -3, -6), DC=(-1,-2,-5)であるから DH=s(1, -2, -7) +t(0, -3, -6)+u(-1,-2, -5) 1-s E Hh 平面ABC P DH⊥AB, DH⊥AC よって 6s+3t+2u=0 _C=(-2, 0, 2) であるから, ③ より u_u)x (-2)+(-2s-3t-2u)×0+(-7s-6t-5u)×2=0 って (5) [HINT] 平面 OBC 上 点は mi+nc で表され る。 ただし,m,nは実 数とする。 【3点G QPが一直 線上にあることから, PQ=sPG として考え てもよい。 その場合, OQ=OP+PQ =OP+SPG =(1-s) OP+sOG s+t+u=1」 の代わり に、 「AH=sAB+tA として考えてもよい。 の場合、DH=DA +7 ■B=(-1,-1, 1) であるから, ② より s_u)×(-1)+(-2s-3t-2u)×(-1)+(-7s-6t-5u)×1=0 としてDHの成分を を用いて表す。 口の係数が0。 HINT 点Dから平面 ABCに下ろした垂線の 足をHとすると, Hは線 分 DE の中点である。 よって DE=2DH DH の成分は, 「Hが平面ABC上にお る」, 「DH⊥平面ABC. から求めることができ Lint. 「DH =sDA+tDB+uDC

2を教えてください。

5 10 15 1 sin=- 2 =1のとき、次の各場合について, Coso, tan 0 の値を求めよ。 (2) 90°<<180°のとき (1) 0°<<90°のとき 問題 △ABCにおいて,a=2,6=1+√3, C=60° のとき、次の問いに答えよ。 (1) 辺ABの長さcを求めよ。 (2) A, B を求めよ。 3 半径2の円に内接する正三角形の面積を求めよ。 4 右の図において, △ABDと△ADCの 面積の和と, △ABCの面積が等しいこ とを利用して, ADの長さを求めよ。 5 1辺の長さが2である正四面体 ABCD に おいて、辺BCの中点をM, ∠AMD = 0 とするとき、次のものを求めよ。 (1) AM と DM の長さ (2) cose の値 140 第4章 図形と計量 問題 B B B A -------5- 2 M 0 1+√3 60° 30% D * C 30 ° 90 3. C D 第

写真の説明の14行目で｢v＝3f÷3･･･｣のように÷3や÷2をしているのはなぜなのか教えてください。

研究 正多面体は5種類しかない 110ページで述べたように,正多面体は5種類しかない。これを, オイラーの多面体定理を用いて証明してみよう。 正多面体が存在するためには, 次の2つが成り立つことが必要である。 ① 1つの頂点に集まる面の数は3以上 2 頂点のまわりの多角形の角の和は360° より小さい ①, ②より,正多面体の面をつくる正多角形の内角は120° より小さくな ければならないが,このような正多角形は,正三角形,正四角形,正五角 形の3種類しかない。 面が正三角形のとき 正三角形の1つの角は60° であるから,1つの頂点に集まる面の数は①, ② より 3,4,5 のいずれかである。1つの辺は2つの面の交線であるから, (ア)面の数が3のとき (ア) 頂点 面 辺 v=3f÷3, e=3f÷2 D, v-etf=2より, f=4 よって, 正四面体である。 60° \60' 0602

写真の問題の(1)で｢線分AM、DMは平面･･･2直線であるから｣という記述があると思うのですが、これって必要なんですか？

例題正四面体 ABCD において、辺BCの中点をMとするとき,次の 7 ことを証明せよ。 (1) BC⊥平面AMD (2) BC⊥AD 考え方 (1) 辺 BC が平面 AMD 上の交わる2直線と垂直であることを示す。 証明 (1) △ABC,△DBCは正三角形であるか A ら. BC⊥AM, BC⊥ DM 線分 AM, DM は平面 AMD 上の交わ る2直線であるから, BC⊥平面AMD (2) (1)より. 辺BCは平面 AMD 上のすべ ての直線に垂直であるから, BCHAD B MX C D

(4)の解法を教えてください。

3 1辺の長さが3である正四面体 A-BCDがある。辺AC上に AE:EC =2:1を満たす点Eをとり、辺AD上に AF:FD = 12を満たす点Fをとる。 ( 5点×4) (1) EF の長さを求めなさい。 [ 法政大国際高 (2) BEの長さを求めなさい。 (3) BEF の面積を求めなさい。 B X (4) 点Aから3点B,E,F を通る平面に下ろした垂線の長さを求めなさい。 E D

めっちゃ急ぎです💦💦 この問題どうやって解けばいいですか、？！ 教科書で調べてもわからなくて、。

12 〈立体の表面積、体積〉次の立体の表面積と体積を求めなさい。 (1) (2) (3) 6cm (立方体) 13cm 4cm (円錐) 5cm 表面積 体積 AS 表面積 体積 (4) 080136 23885 1.0 2cm 4cm (円柱) 0-3cm 表面積 体積 3cm 264000 (球) 表面積 体積

235の(2)(3)について質問です。AGを求めるときに展開図をつかって考えると、直線になっているので求められないじゃんと思ったんですけど、(2)(3)はどのような図形になるのですか？ 教えてほしいです。

19 空間図形の計量 215121 * 234 1辺の長さが1である正四面体 ABCD に外接する球および内接す 23 半径をそれぞれ求めよ。 237F 実戦編 * 235 右の図は,AB=2, AD=3, AE=1の直方 体である。 辺BC上に点Pをとり,点Aから点Pを通って, 点Gまで直線で結ぶ。 E このとき、次の問いに答えよ。 0 (1) AP + PG の最小値を求めよ。 〇(2)(1)のとき,∠APG の大きさを求めよ。 (3) (1) のとき, APG の面積Sを求めよ。 2 F 236 右の図のような, 1辺の長さが1の立方体ABCD- EFGHの対角線 EC に頂点Aから垂線 AK を引く。 ∠EAK, KAB をそれぞれα, β とするとき, cosa, COS β を求めよ。 B 3 解答別冊 p.6 A E H P D B F 2371辺の長さがαの正方形を底面とする四角錐 O-ABCD がある。 OA=OB=OC=OD = αのとき (1) この四角錐の高さをαで表せ。 (2) PAD上に点Qを辺AB上にAP=BQ=xとなるようにと 三角錐 P-AQD の体積を最大にするx を α で表せ。 (3) 0=∠QPD とおく。 x が (2)で求めた値のとき, COSOの値とQPD を求めよ。 - Hint 234 内接する球の半径をrとして正四面体の体積をで表す。 235 展開図で考える。 236 <CAE =∠AKE = 90° であることに注意。 337 (?)から底面に下ろした垂線をOH, Pから底面に下ろした垂線をPHとする