この問題の(1)で、指針の(1)に太字で‪α‬-1>0かつβ-1>0と書いてあるのですが、これをそのまま‪α‬>1,β>1であるための条件としては行けない理由は何ですか？

例題50 2次方程式の解の存在範囲 至本 DOOOO 2次方程式 xー2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように, 定数かの値 の範囲を定めよ。 (1) 2つの解がともに1より大きい。 (2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。 p.81 基本事項 [2 指針>2次方程式x°-2px+p+2=0 の2つの解を α, Bとする。 (1) 2つの解がともに1より大きい。 →α-1>0 かつ β-1>0 (2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。 →α-3と8-3が異符号 以上のように考えると, 例題 49 と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを利用 する解法(b.81の解説) もある。これについては, 解答副文の別解 参照。 解答 2次方程式x°-2px+p+2=0 の2つの解を α, Bとし, 判別式 |回 2次関数 をDとする。 f(x)=x°-2px+p+2の グラフを利用する。 -=(-か-(b+2)=Dがーカー2=(カ+1) (カー2) 解と係数の関係から α+B=2p, aB=p+2 軸について x=p>1, f(1)=3-p>0 から 2Sp<3 (1) α>1, B>1であるための条件は D20 かつ(α-1)+(8-1)>0 かつ (α-1)(8-1)>0 (b+1)(カ-2)20 の D20から YA xーp y=f(x) よって pS-1, 2Sp (α-1)+(B-1)>0 すなわち α+β-2>0 から 2p-2>0 3-P よって p>1 ap 0 1 X (α-1)(B-1)>0 すなわち aβ-(α+B)+1>0 から p+2-2p+1>0 よって かく3. ①- (2) f(3)=D11-5か<0から 求めるかの値の範囲は, ①, ②, 3の共通範囲をとって 11 -1 123 p p> 5 2Sp<3 日 説。 Pけあり

階の存在範囲 解の存在範囲で判別式、軸、端を考えたりするのは解を2つもつときでしょうか？ この(3)のシスセの問題では1つの解をもてばいいから2枚目ような解き方をしなくてよくて、だから3枚目の考え方をしているのでしょうか？？

22 $3 2次関数 23 (3) Cがェ軸と共有点をもつための aの値の範囲は 2次関数 キクク §3 as コ2Sa ケ3 *17 (12分) であり,a= のとき,共有点の座標は コ である。 また,Cがェ軸のェ>0の部分と共有点をもつためのの値の範囲は aを定数として, 2次関数 サ リ=ー+ar+-a-1 aく シ ス そべ-a-! のグラフをCとする。 セ Sa =-(マ--) である。 (1) Cの頂点の座標は (4) a<0 とする。2次関数①の0SrS1における最大値と最小値の差は ア -a-a-1 エ タ a, at である。 である。 (2) 次の0~6 のグラフは, aに適当な値を代入してCを描いたものである。ただ し, aにどのような値を代入しても表すことができないグラフが二つある。その二 こんんときン 9-a44(-)20 a+ 20-4a-420 -l つを選べ。解答の順序は問わない。 オ カ 3.9- を タ-2-/ 3a-4a-420 3-2-/ 2 27 -3ーノ 子と ( at2) ( a-2)20 as-等,25a 2 4:ーズ+22(8-1 ミ-(ガー2と+1) =- (火 -1 ) 42 ミ-a-/-o ラォ2ー1 a- 2a-2-0 2 fa る,2かとらえ。 j0 a2 -1 (次ページに続く。) ュー」 0-20-2:0 ュー a: 142 2+2-1 +2-1 ーこta 19 ーイ。

なぜ(1)と(2)は違いがあるんですが？(2)は軸と判別式の計算はしないんですか？

2次方程式 xー(a-1)x+a+2=0 が次のような解をもつとき、定数aの 94 2次方程式の解の存在範囲(1) …0との大学 値の範囲を求めよ。 (1) 異なる2つの正の解 オーーン (2) 正の解と負の解 .135 基本事項8

(1)の条件でα>1,β>1だから両辺を足し掛けして、α+β>2,αβ>1となると考えてはいけないのは何故ですか？

基本 例題50 2次方程式 x°-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように, 定数かの値 の範囲を定めよ。 1) 2つの解がともに1より大きい。 -2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。 2次方程式の解の存在範囲 OOOO0 p.81 基本事項(2 計>2次方程式x"-2px+p+2=0の2つの解を α, Bとする。 (1) 2つの解がともに1より大きい。→α-1>0 かつ β-1>0 (2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。→a-3とβ-3が異符号 以上のように考えると,例題 49 と同じようにして解くことができる。なお, グラフを利用 する解法(p.81 の解説)もある。これについては,解答副文の剛開参照。 2 解答 欠方程式x-2px+カ+2=0 の2つの解を α, Bとし,判別式 | 2次関数 Dとする。 f(x)=x°-2px+p+2の グラフを利用する。 =(-)-(p+2)=Dがーカー2%3(カ+1) (カー2) と係数の関係から a>1, B>1であるための条件は D20 かつ(α-1)+(8-1)>0 かつ (α-1)(8-1)>0 D20から よって (a-1)+(B-1)>0 すなわち α+B-2>0 から 2カ-2>0 よって (a-1)(B-1)>0 すなわち αB-(c+B)+1>0 から α+B=2p, aB=+2 軸について x=p>1, f(1)=3-p>0 から 2Sp<3 (カ+1)(カ-2)20 かミ-1, 2<p………① xーp y=f(x) 3-e\aP p>1 0 B p+2-2p+1>0 よって 求めるかの値の範囲は, ①, ②, ③ の共通範囲をとって かく3……… 3 0 - (2) f(3)=11-5p<0から 11 -1 12 3 p 5 2<か<3 α<Bとすると, c<3<Bであるための条件は (a-3)(B-3)<0 aB-3(α+B)+9<0 p+2-3-2p+9<0 く題意から, α=Bはありえ ない。 すなわち ゆえに 11 よって b> 5 習|2次方程式x-2(a-4)x+2a=0が次の条件を満たす解をもつように, 定数aの 値の範囲を定めよ。 (1) 2つの解がともに2より大きい。 (2) 2つの解がともに2より小さい。 (3) 1つの解が4より大きく, 他の解は4より小さい。 (p.85 EX34

なぜこの問題だと頂点と、軸を求めなくていいんですか？

ッα<か<B が成り立つ. - 4 2次不等式 Check 例題 109 解の存在範囲3 時の OI あ:2次方程式x-ax+a°-7=0 の異なる2つの実数解のうち, 1つ は2より大きく,他の1つは2より小さくなるような定数aの値の範囲 を求めよ。 ソ=f(x)=x°-ax +a°-7 とおくと,条件は f(2)<o だけでよい。(下の→注参照) 考え方) ソ=f(x)=x°-ax+a°-7 とおくと, y=f(x)のグラフ 解 とx軸との共有点のx座標が,1つは2より大きく,他の1 つは2より小さい。 したがって, y=f(x) のグラフ は,x°の係数が正で,下に凸の放 物線より,右の図のようになれば よい。 つまり,f(2)<0 であればよい. f(2)=2°-a-2+a°-7<0 開よ5.1-で (x)1 a-2a-3<0 3 ソーf(x) ラバラ ケ開 S5 x f(2)の値の符号 より, くく にあるのは よって, -1<a<3 あると らも 55 も すく 5 解の1つはかより大きく, 他の1つはかより小さい Focus (x°の係数)>0 のときf(か)<0 ほにがわ (x°の係数)<0 のとき f(b)>0 こ 注例題109 で, (i)と(i)の条件を調べなくてもよい理由 例題107, 108 のように(i)頂点のy座標の符号と(i)軸の位置を調べていないのは, 16)) 次のようになるからである。 SI4 (i)について,(x° の係数)>0 のとき, f(か)<0 であれば, 必ずx軸と2つの共有 点をもつから,(頂点のy座標)<0 (D>0) は明らか. (x°の係数)<0 のとき, f(p)>0 であれば, 必ずx軸と2つの共有 点をもつから,(頂点のy座標)>0 (D>0) は明らか (i)について, 2次関数のグラフとx軸との交点のx座標をα, B(α<B) とすると、 (x°の係数)>0 のとき, げ(か)<0 であれば, 軸の位置に関係なく bcus 収くかくBが成り立つ。 (x°の係数)<0 のとき, f(p)>0 であれば,軸の位置に関係なく o 2次関数

赤で囲んだ部分は二つの解なのに、なぜ 未満でなく、以下 になるのですか？

発展数学a 【2次方程式と解の存在範囲 10/19] 2t2 )番 氏名( -45 (1) 実数を係数とする2次方程式 f(x)=x?-2ax+a+6=0が,次の条件を満たすとき,定数aの範囲を求めよ。 0 正の解と負の解をもつ -26 f0)<0 であればよいから 29 at6<0 a<-6 0 り 0 f)= (メーaj-atat6 )軸が負り ② 異なる2つの負の解をもつ A~A+リ a<0 )頂点の座標<0 より 0 3 -a4a+6<0 a-a-6>0 1a-3)1a+2)>0 Cal-α-ar6) -6<a<-2 a<-2,3<a.A ) f6)20キり a+6>0 a>-6…A 1より大きく4より小さい2つの解をもつ AAキリ i) 1<軸<.4 キり 1<a<4- (0) 東点の座そo -a+a+6 £0 a2-a-620 (a-3)la+z)20 aミ-2,3€a. 4)>0 (a,-a+a+6) 22 3=a< 7 /-20ta+6>0 ーa>-7 A 16-89+a+6>0 ークa> -22 a<7 22 9く 7 TS。

問題の⑵を聞きたいです。 なぜ、y切片が0より小さいことだけが条件として成り立つのですか？

トK IT) [方程式の解の存在範囲) ス5x についての2次方程式 x-2ax-a+6=0 が次のような解をもつとき, 定数aの値の範囲を求めよ。 (1) 異なる2つの正の解 (2) 符号が異なる2つの解 39片が0よりAIい -a ら

この問題で赤枠にこうなればよい、とありますがなぜこのようになるのですか？ 教えていただきたいです

0方程式 不豊式 [つねに成り立つ不等式) 34さの2次不等式、2x°-2kx-k+1>0 がつねに成り立つような定数kの値の範囲を求めよ。 下に 件) D<o と7Jれ18より だ-2(一R+1) <o 4 R+ 2€ - 2 <0 食+2€-2- 02とくと こうひれよ 5て フォ)グラフがス熱と笑感をもたない。 [方程式の解の存在範囲) 、-1はT+2 -1-5 * -1はJ3 『土6=0が次のような解をもつとき,定数aの値の

こんにちは！この問題が全くわからないので教えてほしいです！

本間も例題120, 121 と同様にグラフをイメージして考えるが,「●<x<■, ●<x<題の の大小 199 こ,定数aの値の 2次方程式の解の存在範囲 (3) S★★☆☆ 例題 122 放解をもつように、定数aの値の範囲を定めよ。 や例題 120 こでは0以外の数 CHART (D)(9)<0 ならpとqの間に解 L(p)とf(q)の積が負 3章 0 の 18 f(-1)=2a-1, f(0)=-2, f(2)=2a-4, S(3)=6a-5 の次方程式f(x)=0 が -1<x<く0, 2<x<3 の範囲でそれぞれ1つの実数解をもつ f(-1)f(0)<0 かつ f (2)f(3) <0 このとき ための条件は 2a 『(-1)f(0)<0 から 1 ゆえに a>- よって 2a-1>0 の (2a-4)(6a-5)<0 f(2)f(3)<0 から ゆえにくのく2 …② 5 よって(a-2)(6a-5)<0 6 88- a 15 26 5 2 0, 2の共通範囲を求めて 牛<a<2 6 0<8 (x)=ax°- (α+1)x-2 とする。 aキ0 であるから, y=f(x) のグラフは放物線である。 f(0)=-2<0 であるから,求める条件は f(-1)>0, f(2) <0, f(3)>0 すなわち 2a-1>0, 2a-4<0, 6a-5>0 (検討参照。 2 3 -1||0 x 5 1 よって a> a<2, a> 6 1a 5 これらの共通範囲を求めてそ<a<2 F(b)f(q)<0 という条件 不等式f(か)f(q)<0は, f(か) と f(q)が異符号 ということを表している。これには 0 F() が正,f(q) が負 2 f(p) が負,f(q) が正 の2つの場合がある。 どちらなのかわからない場合は、この不等式を使うと便利だが, 例 えば0だとわかっている場合は, 「f(か)>0かつ f(q)<0」の方が不等式の次数が低くな り考えやすいことが多い (上の「別解参照)。問題に応じて使いやすい方を選ぶことが大 切である。 2次開数のいろいろな問題 0

この赤線で引いている軸ってどういう意味ですか？！どうやって求まったのか意味が分かりません！教えてください！

CHNOT 数たとの大小 ★☆☆い 例題 198 2次方程式の解の存在範囲 (2) … a 2次 例題 121 つの 範囲を定めよ。 (1) ともに1より大きい異なる2つの解をもつ。 (2) 1より大きい解と1より小さい解をもつ。 や例題120 写針 指 前の例題では解の正負, すなわち解と 0との大小の問題だったが,ここでは0以外の の大小に関して考えることになる。しかし, グラフ利用 の方針は同じ。 (1) 判別式 D, f(1) の符号, 軸と1との大小に注目。 (2) f(1) の符号を考える。 開答 y, 解答 (x)=x°ー4ax+3a とする。 (1) 方程式f(x)=0 がともに1より大きい異なる2つ の解をもつための条件は, 放物線 y=f(x) がx軸の x>1の部分と,異なる2点で交わることである。 ゆえに,f(x)=0の判別式をDとすると, 次のことが 同時に成り立つ。 2a 0 1 00107の く [3] 軸>1 [1] -=(-2a)?--1·3a=4α°-3a D>0 から 4a-3a>0 よって a(4a-3)>0 3 a<0, そくa [2] f(1)>0 から ゆえに 1O 1-a>0 ?よって a<1 。[3] 軸は直線 x=2aであるから 2② 2a>1 ゆえに a. 3 0. 2, 3の共通範囲を求めて (2) 方程式 f(x) =0が1より大きい解と1より小さい解 をもつための条件は 0- くa<1 1 3 2 4 1a ゆえに 1-a<0 注意(2) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,グラフがx軸より下 側の点を通るとき,必ずx軸と異なる2点で交わる。よって, D>0の条件は必要ない。 また、f(x)=0 の2つの解を a, B(α<B) とすると,f(1)<0であるとき,軸の位置に関 係なくα<1<Bであるから,軸の条件も考えなくてよい。 練習|121 2次方程式 2x°+ax+a=0が次の条件を満たす解をもつように,定数aの よって a>1 X 値の範囲を定めよ。 (1)ともに1より小さい異なる2つの解を (2) 3より大きい解と3th