Question

いわ

この問題の(1)で、指針の(1)に太字で‪α‬-1>0かつβ-1>0と書いてあるのですが、これをそのまま‪α‬>1,β>1であるための条件としては行けない理由は何ですか？

例題50
2次方程式の解の存在範囲
至本
DOOOO
2次方程式 xー2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように, 定数かの値
の範囲を定めよ。
(1) 2つの解がともに1より大きい。
(2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。
p.81 基本事項 [2
指針>2次方程式x°-2px+p+2=0 の2つの解を α, Bとする。
(1) 2つの解がともに1より大きい。 →α-1>0 かつ β-1>0
(2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。 →α-3と8-3が異符号
以上のように考えると, 例題 49 と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを利用
する解法(b.81の解説) もある。これについては, 解答副文の別解 参照。
解答
2次方程式x°-2px+p+2=0 の2つの解を α, Bとし, 判別式 |回 2次関数
をDとする。
f(x)=x°-2px+p+2の
グラフを利用する。
-=(-か-(b+2)=Dがーカー2=(カ+1) (カー2)
解と係数の関係から
α+B=2p, aB=p+2
軸について x=p>1,
f(1)=3-p>0
から 2Sp<3
(1) α>1, B>1であるための条件は
D20 かつ(α-1)+(8-1)>0 かつ (α-1)(8-1)>0
(b+1)(カ-2)20
の
D20から
YA
xーp y=f(x)
よって
pS-1, 2Sp
(α-1)+(B-1)>0 すなわち α+β-2>0 から 2p-2>0
3-P
よって
p>1
ap
0
1
X
(α-1)(B-1)>0 すなわち aβ-(α+B)+1>0 から
p+2-2p+1>0
よって
かく3.
①- (2) f(3)=D11-5か<0から
求めるかの値の範囲は, ①, ②,
3の共通範囲をとって
11
-1
123 p
p>
5
2Sp<3
日 説。
Pけあり

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

こんぱち

直接
α>1かつβ>1
を使うと、解を直接計算することになり、例えば解の公式でpを使ってα、βを表したりすればできますが、
ルートの中にpがあったりして条件の処理が煩雑になります。

質問の答えとしては、『できるけど、大変』となりますかね。