Question

^_^

なぜ(1)と(2)は違いがあるんですが？(2)は軸と判別式の計算はしないんですか？

2次方程式 xー(a-1)x+a+2=0 が次のような解をもつとき、定数aの
94 2次方程式の解の存在範囲(1) …0との大学
値の範囲を求めよ。
(1) 異なる2つの正の解
オーーン
(2) 正の解と負の解
.135 基本事項8

解答
f(x)=x°-(a-1)x+a+2 とすると,y=f(x)のグラフは下
FO)
a-1
である。
2
に凸の放物線で,その軸は直線 x=
(1) 方程式 f(x)=0 が異なる2つの正の解をもつための条件
は,y=f(x) のグラフがx軸の正の部分と, 異なる2点で交
わることである。 よって,f(x)=0 の判別式をDとすると.
次のことが同時に成り立つ。
0
[2](軸の位置)>0
[3] f(0)>0
[1] D={-(a-1)}?-4·1·(a+2)=α°-6a-7
D>0 から(a+1)(a-7)>0
よって a<-1, 7<a
a-1
[2](軸の位置)>0 から “>0
2
よって
a>1
2
[3] f(0)=a+2
f(0)>0 からa+2>0
-2-1
よって
a>-2
0, ②, ③ の共通範囲を求めて
(2) 方程式 f(x)=0 が正の解と負の解をもつための条件は,
y=f(x) のグラフがx軸の正の部分と負の部分で交わるこ
とであるから
よって
a>7
0
S(0)<0
f0O)
a+2<0
したがって
a<-2
PRACTICE …· 94° 実数を係数とする2次方程式 x°-2ax+a+6=\
満たすとき, 定数 aの値の範囲を求めよ。
(1) 正の解と負の解をもつ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

蟹

軸、判別式を考えても大丈夫ですよ
ただ、以下の様になるので結局f(0)<0だけで済んでしまいます

f(x)
=x²-(a-1)x+a+2
= ( x - (a-1)/2 )² -(a-1)²/4 + a+2
から

軸はx = (a-1)/2

D
=(a-1)²-4(a+2)
= a²-6a-7
=(a-7)(a+1)なので

D>0 → a < -1 ,7 < a ①

f(x)=0の解をx=s,t ( s < t )とすると

軸が負、つまり
(a-1)/2 < 0
a<1 のとき ②

sは明らかに負
tが正であるためにはf(0)<0を満たす必要があるので

f(0)=a+2 <0 → a<-2 ③

①②③の共通範囲から a < -2 (i)

軸が正
(a-1)/2 > 0
a>1 ④
のとき

tは明らかに正
sが負であるためにはf(0)<0を満たす必要があるので

f(0) < 0 → a<-2 ③

①④③の共通範囲をとると 解なし (ii)

なので(i)(ii)から
a<-2

^_^

ごめんなさい。文字が全然わからなかったです、、。

蟹

すみません、わかりにくかったですね

判別式が正 → a < -1 , 7 < a
軸が正 → 1 < a
軸が負 → a < 1
f(0)が負 → a < -2

この辺りを使って考えます

f(x)は軸の位置が変わってしまうので、(1)と同様に解くためには場合分けをする必要があります。

[1] 判別式について
[2] 軸について
[3] f(0)の符号について
で考えると

1. 軸が正のとき
[1] 判別式が正 → a < -1 , 7 < a
[2] 軸が正 → 1 < a
[3] f(0)の符号 → a < -2
この3つの共通範囲を取れないので 解なし

2. 軸が負のとき
[1] 判別式が正 → a < -1 , 7 < a
[2] 軸が負 → a < 1
[3] f(0)の符号 → a < -2
この3つの共通範囲をとって a < -2

以上から a < -2

こんな感じになるので、結局f(0) < 0 の条件だけで解けてしまいます

^_^

わかりやすいです！ではどうすれは問題を解く前に気づけますか？？

蟹

こればかりは慣れが必要かと思います。
演習をたくさんこなしましょう

基本的な解き方は(1)の解き方なので、

(1)の解き方で解く→もっと簡単に解けたなあ

を繰り返してパターンを身に付けると良いかと思います

^_^

わかりました！わかりやすくありがとうございます！(^^)