41点で微分可能にする
(x≥1)
(x<1)
log.
関数f(x)={ ax+b
+1
ƒ(x)={9(x) (x<a).
lh(x) (a≤x)
･･･････ A x=αで微分可能な条件・・・・・・☆ を考えよう。
定義域を広げておく Aのg(x) の定義域を <a と考える必要はない。 例えばg (r) = sing であ
れば全実数で定義されていると考えてよい. いまは, g(x), h (x) が全実数で定義されている微分可
「『能な関数』………◇ と定義域が広げられるとしよう.g(a), g' (a), h (α) を考えられるようになる。
グラフをつなげる 微分可能ならば,当然つなぎ目でグラフはつながり, 連続である. 定義から.
x=αで連続⇔ lim f(x)= lim f(x) = f(α) ・･････① が成り立つ
11140
x-α+0
である。 A の場合, ① は lim_g(x) = h (α) と同値で, ◇により, g(α) = h (α) となる.
次に, 微分可能にする
x→a−0
x=αで微分可能
ここで,◇のとき,
lim
がx=1で微分可能であるようなα, bの値を求めよ。
lim
0
+0
Aについて g (α)=h(α) [=f(a)] とする. 定義から,次が成り立つ、
f(x)-f(a)
が同じ値に収束
x-a
lim
x→a−0
f(x)-f(a)
x-a
f(x)-f(a)
x-a
ƒ(x)-f(a)
=h'(a)
xia
であるから,◇のとき, Axで微分可能な条件は,αで連続かつ微分係数が一致すること,つ
まり,
g(a)=h(a)g'(a)= h'(a)
-=lim
ao
=lim
と lim
x→a+0
x→a+0
(防衛大)
g(x)-g(a)
x-a
h(x)-h(a)
x-a
-=g'(a),
