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12 不等式の証明/A2B → A-B20
農)
3a+b
36+c
Y=
CEED
3c+a
Z=
4 6, cを正の実数とする.X=
a+36'
b+3c
c+3a
=0の
求医)
(1)<X<3を証明しなさい。
x Y. Zのうち,少なくともひとつは1以上であることを証明しなさい。
について次の問いに答えなさい。
-<X+Y+Z<7を証明しなさい。
3
(明治学院大·経,社,法)
5
差が0以上を示す
ーB20を示すのが1つの定石である.AとBを合流させることによって式変形の仕方の可能性が高
まるし,目標が0以上を示すことになるので, 式変形の方針も定め易くなる.例えば,平方完成をして
(実数)+(実数)の形を導いたり,因数分解をして(正の数)×(正の数)の形を導いたりすればよい。
A, Bがェの式として,AZBを示すことを考えてみよう.このとき,
答
■解 答
3(3a+b)-(a+36)
3(a+36)
8a
3a+b
3
1
Qa, bは正の実数
X-
a+36
3(a+36)
3a+b
3(a+36)-(3a+b)
86
3-X=3--
a+36
a+36
a+36
よって,
1
<X<3
3
3a+b-(a+36)
-1=
2(aーb)
a+36
3a+b
(2)X-1=
a+36
a+36
っこれ以降,背理法を用いてもよい。
X<1かつY<1かつZ<1と仮
定すると,」
aくbかつ bくcかつ cくa
が成り立つ。
a<bかつbくcのときa<cと
なるが,これはmに矛盾する。
2(6-c)
2(c-a)
Z-1=
同様にして,Yー1=
c+3a
b+3c
4, 6, cのうちでaが最大のとき, azbであるからX21
4, b, cのうちでbが最大のとき, bZcであるから Y21
4, 6, cのうちでcが最大のとき, cZaであるからZ21
したがって, X, Y, Zのうち, 少なくひとつは1以上である。
GY, Z についても, Xにおいて文
字を入れ換えただけだから, X と
同様の不等式が成り立つ。
(3) (1)により, くX<3, <Y<3, <Z<3が成り立つ。
3
1
15
1
X21のときは,Y>-, Z>
3
とから,X+Y+Z>1+
3
3
3 3
Y21, Z21のときも同様である。
また,a, b, c のうちの最小のものに着目すれば(2)と同様にして, X, Y, Zの 白与式の左辺は,
うち,少なくひとつは1以下であることが分かる。
X<1のときは,Y<3, Z<3とから, X+Y+Z<1+3+3=7
Y<1, Z<1のときも同様である。
1
-+1から出
3
1
3
てきた.右辺の7は, 3+3+1か
ら出てくることに着目。
012 演習題(解答は p.28)
a>0, 6>0のとき,不等式α+ポ2α'b+ab°を証明せよ. また, 等号が成り立つ
のはどのようなときか。
(2) a, bを実数とする. 不等式、/a?+1+/6+12/ (a-1)?+(b-1)? を証明せよ.
また、等号が成り立つのはどのようなときか。
(2) 両辺0以上なので
(左辺)?-(右辺)N0を
示せばよい。
(東北学院大)
