Question

ゆな

数学Aの不定方程式の問題です。
9x-11y=2と表すところまでは理解出来ました。
その後どうすればいいか教えてください。

コ 134.9で割れば4余り,11で割れば6余る自然数のうち, 3桁で最小のものを求
めよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

しゅわっちい

特殊解をひとつ見つけてXとYを整数Kの式で表す
のが定石です。
よく使う方法は教科書等に載ってるので見てください。
自分は違うやり方を提供します。

(解)
9X－11Y＝2
9X－(9＋2)Y＝2
9(X－Y)－2Y＝2
両辺を9で割ったあまりに着目すると
－2Y≡2
→2Y≡－2
9と2は互いに素なので2で割ってもよく
Y≡－1(mod9)
よって
Y＝9K－1
元の式に代入すると
9X－11(9K－1)＝2
9X－99K＋11＝2
9X＝99K－9
X＝11K－1
よって
X＝11K－1、Y＝9K－1

と求まります。

しゅわっちい

やっぱり特殊解を見つける方もやります。

9X－11Y＝2
X＝－1、Y＝－1が特殊解。
よって
9 X － 11 Y ＝2
9(－1)－11(－1)＝2
辺を引いて
9(X－(－1))－11(Y－(－1))＝2－2
9(X＋1)－11(Y＋1)＝0
9(X＋1)＝11(Y＋1)
9と11は互いに素なので
X＋1＝11K、Y＋1＝9K(Kは整数)
よって
X＝11K－1、Y＝9K－1